[論文レビュー] A sphere theorem for Bach-flat manifolds with positive constant scalar curvature

Yi Fang, Wei Yuan|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正の定数スカラー曲率をもつ閉じたバッチ平坦なリーマン多様体に対する球面定理を確立し、Weylおよびトレースレスリッチテンソルが $L^\infty$ もしくは $L^{n/2}$ 範囲で十分に小さい場合、多様体は局所的に球面的であることを証明する。結果は、正のエインシュタイン多様体に対するシンガーの剛性定理を一般化し、ヤマベ定数の制御下で、シンプレクティックな2次テンソルに対する新規なグローバル推定とソボレフ不等式を用いて、チャン＝ガーズキー＝ヤンの4次元の共形球面定理の一部を回復する。

ABSTRACT

We show a closed Bach-flat Riemannian manifold with a fixed positive constant scalar curvature has to be locally spherical if its Weyl and traceless Ricci tensors are small in the sense of either $L^\infty$ or $L^{\frac{n}{2}}$-norm. Compared with the complete non-compact case done by Kim, we apply a different method to achieve these results. These results generalize a rigidity theorem of positive Einstein manifolds due to M.-A.Singer. As an application, we can partially recover the well-known Chang-Gursky-Yang's $4$-dimensional conformal sphere theorem.

研究の動機と目的

• 曲率テンソルの小さな条件の下で、正の定数スカラー曲率をもつ閉じたバッチ平坦多様体に対する剛性結果を確立すること。
• 正のエインシュタイン多様体に対する M.-A. シンガーの剛性定理を、より広いクラスのバッチ平坦多様体へ一般化すること。
• 曲率およびヤマベ定数の制約の下で、チャン＝ガーズキー＝ヤンの4次元共形球面定理の部分的回復を達成すること。
• 非コンパクトな状況における金の $L^2$-ノルム減衰に基づく手法とは異なる、コンパクト多様体におけるグローバル剛性の新規な手法を提供すること。

提案手法

• 対称2次テンソルに対するグローバル推定（命題2.3）を用いて、トレースレスリッチテンソル $E$ およびWeylテンソル $W$ を制御する。
• 次元 $n$ およびヤマベ定数の下限 $\alpha_0$ のみに依存する定数を用いたソボレフ不等式を適用する。
• カトの不等式およびホルダーの不等式を用いて、$E$ および $W$ の $L^{2n/(n-2)}$ ノルムを、それらの $L^{n/2}$ ノルムで上から抑える。
• 4次元におけるWeylテンソルの $L^2$ ノルムの共形不変性を用いて、元の計量 $g$ とヤマベ計量 $\hat{g}$ を関連付ける。
• 4次元におけるガウス＝ボンネット＝チェーンの公式を用いて、Weylテンソルの $L^2$ ノルムを Euler 標記および体積で上から抑える。
• 曲率テンソルの $L^{n/2}$ ノルムが $\alpha_0$ に依存する閾値未満である場合、背理法により $E$ および $W$ の消滅を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の定数スカラー曲率をもつ閉じたバッチ平坦多様体が、局所的に球面的になるための曲率の小さな条件は何か？
• RQ2 正のエインシュタイン多様体に対する剛性定理は、バッチ平坦多様体へ拡張可能か？
• RQ3 曲率テンソルの $L^{n/2}$ ノルムの制約の下で、チャン＝ガーズキー＝ヤンの4次元共形球面定理はどの程度回復可能か？
• RQ4 ヤマベ定数は、正のスカラー曲率をもつバッチ平坦多様体の剛性にどのように影響するか？
• RQ5 非コンパクト設定で用いられる $r \to \infty$ の議論を避ける、コンパクトバッチ平坦多様体におけるグローバル剛性のメカニズムは存在するか？

主な発見

• もし $||W||_{L^\infty} + ||E||_{L^\infty} < \frac{n-1}{4}$ ならば、多様体は $\mathbb{S}^n$ の商に等長である。
• もし $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{3\alpha_0}{32n(n-1)}$ かつヤマベ定数 $Y(M,[g]) \geq \alpha_0 > 0$ ならば、多様体は $\mathbb{S}^n$ の商に等長である。
• 同じヤマベ定数の条件下で、もし $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{\alpha_0}{4n(n-1)}$ ならば、多様体はエインシュタイン的である。
• 4次元において、もし $\int_M |W_g|^2 dv_g < \frac{32}{3}\pi^2(\chi(M^4) - 2) + \frac{\alpha_0}{192}$ ならば、$(M^4,g)$ は $\mathbb{S}^4$ または $\mathbb{RP}^4$ に共形的である。
• 証明は、$n$ および $\alpha_0$ のみに依存する $C_S$ をもつ、対称2次テンソルに対する新規なグローバル推定とソボレフ不等式に依存する。
• 結果はシンガーの $L^{n/2}$-ギャップ定理をエインシュタイン多様体へ一般化し、完全な曲率ピンチングを要件とせず、4次元共形球面定理の一部を回復する。