[論文レビュー] A splitting algorithm for dual monotone inclusions involving cocoercive operators

Bằng Công Vũ|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、cocoercive作用素を含む単調包含を解くための新しいプライマル・デュアル分割法を提案する。前方後方ステップと双対性を活用することで、cocoercivity仮定のもとで弱収束および強収束を達成する。主な貢献は、最近のアルゴリズムを回復・拡張する統一的枠組みを提供することであり、関与する作用素に対して最小限の仮定のもとで収束保証が得られる。

ABSTRACT

We consider the problem of solving dual monotone inclusions involving sums of composite parallel-sum type operators. A feature of this work is to exploit explicitly the cocoercivity of some of the operators appearing in the model. Several splitting algorithms recently proposed in the literature are recovered as special cases.

研究の動機と目的

• 合成平行和型作用素の和を含むデュアル単調包含のための分割法を開発すること。
• 特定の作用素のcocoercivityを明示的に活用して収束性とアルゴリズム構造を改善すること。
• 文献に最近提案された複数のアルゴリズムを一つの枠組みで統一・一般化すること。
• 最小限で検証可能な条件下で弱収束および強収束結果を確立すること。
• Fenchel-RockafellarおよびMosco双対性を介して凸最小化問題への応用を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、反復的にプライマル変数とデュアル変数を更新するための緩和パrameter $\lambda_n$ を用いた前方後方分割法を採用する。
• 複合単調包含をデュアル空間でモデル化するために、平行和作用素 $B_i \square D_i$ を組み込む。
• 収束を保証するために、最大単調作用素の解像作用素と作用素 $C$ のcocoercivityに依存する。
• プライマル変数 $x_n$ とデュアル変数 $v_{i,n}$ が近位的および勾配ステップによって更新されるプライマル・デュアル定式化からアルゴリズムを導出する。
• 不正確または摂動された計算をモデル化するための誤差項 $a_{1,n}, a_{2,n}, c_{i,n}, b_{i,n}$ を含み、誤差列が可 summable 条件を満たす限り収束が保たれる。
• フレームワークは、Baillon-Haddad定理により $C = \nabla h$ がcocoerciveであるため、凸最小化への応用で検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cocoercive作用素を含むデュアル単調包含のための分割法を設計可能か。この方法は既存手法を統一できるか。
• RQ2 cocoercivity仮定のもとで、提案アルゴリズムの弱収束および強収束を保証する条件は何か。
• RQ3 cocoercivityの組み込みが、プライマル・デュアル分割スキームの構造と収束性にどのように寄与するか。
• RQ4 どのような設定で、本アルゴリズムは [10]、[18]、または [22] の既知の手法に還元されるか。
• RQ5 反復スキームの収束を保証する問題データに対する最小限の条件は何か。

主な発見

• 標準的な単調性およびcocoercivity仮定のもとで、提案アルゴリズムはプライマル包含 (1.2) およびデュアル包含 (1.3) の解に弱収束する。
• 目的関数 $h$ が解において一様凸である場合、$\nabla h$ が一様単調になるため、強収束が達成される。
• $\ell_i$ が $\{0\}$ の特性関数で $z=0$ のとき、本アルゴリズムは [18, 式 (36)] の手法を特別な場合として回復・拡張する。
• 有限次元空間で $\lambda_n \equiv 1$ のとき、本アルゴリズムは [10, アルゴリズム 1] の手法に還元され、同一の条件下で収束が保たれる。
• 誤差列が可summableである限り、不正確または摂動された評価に対しても収束が維持される。
• 本フレームワークは、Fenchel-RockafellarおよびMosco双対性、および凸最適化における他の古典的設定を統一的に取り扱う。