[論文レビュー] A Splitting Criterion for Galois Representations Associated to Exceptional Modular Forms (mod p)

Ken McMurdy|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、例外的モジュラー形式の modulo p におけるガロア表現の分割基準を確立し、このような表現が、de Rham対数とカップ積から得られる2つのコhomological不変量が modulo p^{p+1} で消えるときにかつそのときに限り分割されることを証明する。主たる貢献は、Hecke代数が最大イデアルで Z_p に同型である場合に、分割の性質を明示的なモジュラー形式および p-進ホッジ理論に結びつける計算的手法の確立である。

ABSTRACT

This paper continues the study of certain two-dimensional Galois representations attached to modular forms (mod p) via a construction due to Deligne. In particular, we prove a criterion for determining when the representation is split when restricted to a decomposition group at p.While this problem was already well understood for "nonexceptional" modular forms, here we specifically address the "exceptional" case. Although the problem is not solved in all generality, it is reasonable to hope that this proof will in fact provide the framework of a proof in the more general case.

研究の動機と目的

• 例外的モジュラー形式の modulo p におけるガロア表現が分割される条件を特定する未解決問題を解き、特に対角的特徴が等しい場合（k = p および ε(p) = a_p²）に焦点を当てる。
• Serreの同伴形式予想およびGrossとColeman-Volochによるその証明を、標準的な分割基準が失敗する例外的ケースに拡張する。
• モジュラー形式 f に関連する p-可除群 G_f から得られる p-進ホッジ理論的不変量を用いて、ρ_f,p の分割を計算可能にする基準を確立する。
• de Rhamコhomologyおよびモジュラー形式上の内積を用いて、特徴が 0 の修正 q から分割不変量 q_p を明示的に計算する公式を提供する。

提案手法

• 本稿は、f を上にする重さ 2 の新形式 F から、ρ_f,p が G_f[p] のガロア表現のねじれであるような p-可除群 G_f を構成する。
• ガロア群が G_f のテートモジュールに作用する方法を用いて、ρ_f,p が分割されるかどうかを決定する分割不変量 q_p ∈ R^* / (R^*)^p を定義する。
• 主な道具は、ColemanおよびVolochの手法から導かれる、H^1_DR(I_1(N)) 上のカップ積を用いた d log q の公式である。
• 2番目の公式は、曲線 I_1(N) の de Rham コホモロジー上でのカップ積として解釈される、H^0(X_1(Np), Ω) 上の内積から得られる log q の式である。
• 分割基準は、2つの不変量の消えること、すなわち d log q ≡ 0 mod π dπ および log q ≡ 0 mod π^{p+1} に還元される。
• 証明は、環 R 内での明示的な p-進対数および指数関数の計算を通じて、これらの2条件が ρ_f,p の分割に同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的同伴形式基準が失敗する場合に、例外的モジュラー形式のガロア表現 ρ_f,p が分割される条件は何か？
• RQ2 Hecke代数が m_f で Z_p に同型である場合に、ρ_f,p の分割を p-進コホモロジー的不変量を用いてどのように検出できるか？
• RQ3 ρ_f,p の分割と、モジュラー形式およびその de Rham 実現から得られるコホモロジー的不変量の消えることとの正確な関係は何か？
• RQ4 p-可除群 G_f の特徴が 0 の修正 q から、分割不変量 q_p を明示的に計算できるか？

主な発見

• ガロア表現 ρ_f,p は、分割不変量 q_p が R^* / (R^*)^p 内で p 乗数であるときにかつそのときに限り分割される。
• 分割基準は、d log q を π dπ で割った剰余が 0 であること、および log q を π^{p+1} で割った剰余が 0 であることと同値である。
• 分割不変量 q_p は、修正 q を用いた公式 q_p ≡ ζ^s (1 + π^p)^{t + s(A_p^2 / ε(p) - 1)/p} mod π^{p+1} により明示的に計算できる。
• d log q を π dπ で割った剰余が 0 であることは、内積 <[f], [f’]>_I ≡ 0 mod π dπ と同値であり、ここで f’ は f を w でねじったものである。
• log q を π^{p+1} で割った剰余が 0 であることは、内積 (ω_F, ω_{F|w})_∞ ≡ 0 mod π^{p+1} と同値である。
• 主な結果は、ρ_f,p が不分岐であることに同値であるという主張に等しい。ここで、H^1_DR(I_1(N)) 内で [π^{-p} F|w] の類が消えることである。