[論文レビュー] A splitting of the virtual class for genus one stable maps

Tom Coates, Cristina Manolache|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的な多様体への genus one の安定写像のための仮想基本類のサイクルレベルでの分割を、『ゴースト』成分——モジュライ空間の genus zero の退化——における仮想類を定義することによって確立する。仮想類の一般化されたファンクター理論的性質を用いて、これらのゴースト成分を genus zero のモジュライ空間へ仮想プッシュフォワードしたものが強いプッシュフォワード性質を満たすことを証明し、Calabi–Yau 3-fold における標準的および還元 Gromov–Witten 不変量の間の明確な公式を導く：$ \operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$。

ABSTRACT

Moduli spaces of stable maps to a smooth projective variety typically have several components. We express the virtual class of the moduli space of genus one stable maps to a smooth projective variety as a sum of virtual classes of the components. The key ingredient is a generalised functoriality result for virtual classes. We show that the natural maps from 'ghost' components of the genus one moduli space to moduli spaces of genus zero stable maps satisfy the strong push forward property. As a consequence, we give a cycle-level formula which relates standard and reduced genus one Gromov--Witten invariants of a smooth projective Calabi--Yau theefold.

研究の動機と目的

• genus one の安定写像のモジュライ空間の仮想基本類を、主成分および退化した『ゴースト』成分を含むその既約成分への寄与に分解すること。
• 仮想類に対して一般化されたファンクター理論的性質——特にゴースト成分から genus zero のモジュライ空間への写像に対する強い仮想プッシュフォワード性質——を確立すること。
• 標準的および還元 Gromov–Witten 不変量の間の Zinger/Li–Zinger 公式を、サイクルレベルで証明すること。
• ゴースト成分上の仮想類を用いて、Calabi–Yau 3-fold における還元 Gromov–Witten 不変量の理論を拡張すること。

提案手法

• 特異点を解消するための $\overline{M}_{1,n}(X,d)$ のブローモー $\tilde{M}(X)$ を導入し、主成分およびゴースト成分における仮想類を定義する。
• ゴースト成分のブローモー $\tilde{M}(X)^\lambda$ 上で制限された障害理論を定義し、それが完全で相対障害理論の双対であることを保証する。
• $\tilde{M}(X)$ 上の障害理論の変形空間を構成し、仮想類が正しい次元を持つようにするために、それを再びブローする。
• 仮想類の一般化されたファンクター理論的性質を用いて、$\tilde{M}(X)^\lambda$ から $P(X)^\lambda$ への仮想類のプッシュフォワードが適切に振る舞い、強いプッシュフォワード性質を満たすことを示す。
• 射影 $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$ の一般ファイバー上で局所計算を行い、法束および相対障害理論のチャーン類を用いて次数を計算する。
• 仮想プルバックとプッシュフォワードの可換性を適用し、プッシュフォワードにおける有理数係数 $k$ を計算し、$ \frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$ を含む重要な公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus one の安定写像のモジュライ空間の仮想基本類は、主成分および退化したゴースト成分を含むその既約成分への寄与に分解可能か？
• RQ2 ゴースト成分から genus zero のモジュライ空間への自然な射影は、強い仮想プッシュフォワード性質を満たすか？
• RQ3 Calabi–Yau 3-fold に対して、標準的および還元 genus one Gromov–Witten 不変量を関係付けるサイクルレベルの公式を導出可能か？
• RQ4 genus one の場合における標準的および還元不変量の間の正確な係数は何か？そしてそれは幾何学的にどのように計算されるか？

主な発見

• genus one の安定写像のモジュライ空間の仮想基本類は、主成分およびゴースト成分の仮想類の和に分解される：$[\tilde{M}(X)]^{\text{virt}} = [\tilde{M}(X)^0]^{\text{virt}} + \sum_{\lambda \in I} [\tilde{M}(X)^\lambda]^{\text{virt}}$。
• 写像 $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$ は強い仮想プッシュフォワード性質を満たし、仮想類のプッシュフォワードが $P(X)^\lambda$ 上の仮想類に比例することを保証する。
• Calabi–Yau 3-fold $X$ に対して、標準的および還元 genus one Gromov–Witten 不変量は $\operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$ で関係づけられる。
• ゴースト成分からの仮想類のプッシュフォワードにおける係数 $k$ は $k = \frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$ として計算され、これは一般ファイバー上の法束の第二チャーン類から導出される。
• ゴースト成分 $\tilde{M}(X)^1$ からの仮想類の $M_{0,0}(X,\beta)$ への仮想プッシュフォワードは $\frac{2 + K_X \cdot \beta}{24} [M_{0,0}(X,\beta)]^{\text{virt}}$ に等しい。
• 本結果は $X$ が完全交差である必要がないことを示し、従来の仮定に依存する結果を一般化している。