[論文レビュー] A squeezing property and its applications to a description of long time behaviour in the 3D viscous primitive equations

Igor Čhuešhov|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件を満たす3次元粘性原始方程式に対して、Ladyzhenskaya型の圧縮性を確立し、グローバルアトラクタの有限フラクタル次元、有限個の決定的モードの存在、およびランダムに駆動されたバージョンの系のエルゴード性を示した。この結果は、Sobolev $ H^1 $-型空間における一様滑らかさ推定とスペクトル射影技術に依存している。

ABSTRACT

We consider the 3D viscous primitive equations with periodic boundary conditions. These equations arise in the study of ocean dynamics and generate a dynamical system in a Sobolev H^1 type space. Our main result establishes the so-called squeezing property in the Ladyzhenskaya form for this system. As a consequence of this property we prove (i) the finiteness of the fractal dimension of the corresponding global attractor, (ii) the existence of finite number of determining modes, and (iii) ergodicity of a related random kick model. All these results provide a new information concerning long time dynamics of oceanic motions.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件を満たす3次元粘性原始方程式に対して、Ladyzhenskaya形式の圧縮性を確立すること。
• 系のグローバルアトラクタが有限のフラクタル次元を持つことを証明し、地球物理流体動力学における未解決問題を解決すること。
• 長期間の動的挙動を制御する有限個の決定的モードの存在を示すこと。
• 圧縮性とKuksin-Shirikyan理論を用いて、原始方程式のランダムに駆動されたバージョンのエルゴード性を示すこと。
• 海洋および大気モデルを支配する原始方程式における長期間の挙動を理解するための新しい解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• Sobolev空間 $ H^1 $-型空間におけるスペクトル射影とエネルギー型不等式を用いて、解に対する一様滑らかさ推定を導出する。
• 状態空間を低周波数および高周波数成分に分解するために、スペクトル射影 $ Q_N $ を適用する。
• 不等式 $ \|A^{1/2}Q_N u(T)\|^2 \leq q^2 \|A^{1/2}u(0)\|^2 $（$ 0 < q < 1 $）を用い、時間 $ T > 0 $ における圧縮性を確立する。
• 初期データに対する一様有界性を保証するため、吸収的かつ前向き不変な集合 $ \mathscr{D} $ の存在に依存する。
• Kuksin-Shirikyanのエルゴード性定理を、ランダム駆動付きのマルコフ連鎖モデルに適用し、圧縮性と有限次元射影を用いる。
• 正則性を二段階の手続きで実現する：まず高階時間微分の推定を行い、次に楕円型正則性を用いて空間的滑らかさを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的境界条件を満たす3次元粘性原始方程式系は、Ladyzhenskaya型の圧縮性を満たすか？
• RQ2 圧縮性を用いて、グローバルアトラクタの有限フラクタル次元を証明できるか？
• RQ3 長期間の動的挙動を制御する有限個の決定的モードが存在するか？
• RQ4 ランダムに駆動された系のバージョンは、一意な不変測度を持ち、エルゴード的挙動を示すか？
• RQ5 一様滑らかさ推定とスペクトル射影技術を用いて、長期間の正則性および漸近的コンパクト性を確立できるか？

主な発見

• 系は、Ladyzhenskaya形式の圧縮性を満たす：任意の $ T > 0 $ および $ 0 < q < 1 $ に対して、ある $ N $ が存在し、すべての $ v_1, v_2 \in \mathscr{D} $ に対して $ \|Q_N[\tilde{S}_T v_1 - \tilde{S}_T v_2]\|_{V_1} \leq q \|v_1 - v_2\|_{V_1} $ が成り立つ。
• 系のグローバルアトラクタは、圧縮性のおかげで有限のフラクタル次元を持つ（系理3.6）。
• 長期間の動的挙動を一意に決定する有限個の決定的モードが存在する（系理3.7）。
• ランダムに駆動された系のバージョンはエルゴード的であり、一意な不変確率測度と指数的混合性を示す（系理3.9）が、駆動分布に関する適切な条件が満たされる必要がある。
• 一様滑らかさ推定式 $ \|A^{1/2}Q_N u(T)\|^2 \leq \left[ e^{-\nu\lambda_{N+1}T} + \left( \frac{C_{R_*,\varepsilon}}{\alpha_{R_*} + \nu\lambda_{N+1}} + \varepsilon C_{R_*} \right) e^{\alpha_{R_*}T} \right] \|A^{1/2}u(0)\|^2 $ が、圧縮推定を可能にする。
• エルゴード性の結果は、Kuksin-Shirikyan定理に基づき、圧縮性と有限次元射影 $ \| (I-P)[SU - SU_*] \|_H \leq \eta \|U - U_*\|_H $（$ \eta < 1 $）に依存する。