[論文レビュー] A stabilized finite element formulation of non-smooth contact

Ghadir Haikal|ArXiv.org|Jun 2, 2009

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 86被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノードから面へのギャップ関数と不連続ガラーキン（DG）に基づく安定化を用いた、滑らかでない接触問題のための安定化された有限要素法の定式化を提示する。この手法は、界面を介した圧力の正確な転送を保証し、鋭いコーナーや非線形表面を効果的に扱い、ラグランジュ乗数法を用いることでエネルギー保存を保証し、超弾性および接触問題における非適合メッシュの強固な結合を可能にする。

ABSTRACT

The computational modeling of many engineering problems using the Finite Element method involves the modeling of two or more bodies that meet through an interface. The interface can be physical, as in multi-physics and contact problems, or purely numerical, as in the coupling of non-conforming meshes. The most critical part of the modeling process is to ensure geometric compatibility and a complete transfer of surface tractions between the different components at the connecting interfaces. Popular contact modeling techniques rely on geometric projections to detect and resolve overlapping or mass interpenetration between two or more contacting bodies. Such approaches have been shown to have two major drawbacks: they are not suitable for contact at highly nonlinear surfaces and sharp corners where smooth normal projections are not feasible, and they fail to guarantee a complete and accurate transfer of pressure across the interface. This dissertation presents a novel formulation for the modeling of contact problems that possesses the ability to resolve complicated contact scenarios effectively, while being simpler to implement and more widely applicable than currently available methods. We show that the formulation boils down to a node-to-surface gap function that works effectively for non-smooth contact. The numerical implementation using the midpoint rule shows the need to guarantee the conservation of the total energy during impact, for which a Lagrange multiplier method is used. We propose a local enrichment of the interface and a simple stabilization procedure based on the discontinuous Galerkin method to guarantee an accurate transfer of the pressure field. The result is a robust interface formulation for contact problems and the coupling of non-conforming meshes.

研究の動機と目的

• 滑らかな法線射影に依存する従来の接触手法の限界を解消すること。特に、鋭いコーナーや高次非線形表面ではその手法が失敗する。
• 滑らかでない非適合界面を介したトラクションの正確な転送が可能な強固な界面定式化を開発すること。
• 時間積分法においてラグランジュ乗数法を用いることで、衝突時のエネルギー保存を保証すること。
• 超弾性問題における非適合メッシュの結合に対して安定的かつ一貫性のある定式化を提供すること。
• 滑りや分離を含む複雑な接触シナリオの効果的シミュレーションを可能にし、数値的安定性と精度を向上させること。

提案手法

• 滑らかな法線射影に依存しない、ノードから面へのギャップ関数に基づく方向性体積アプローチを用いて接触制約を定式化する。
• 中点則を用いた時間積分法にラグランジュ乗数法を組み合わせ、衝突時におけるエネルギー保存を強制する。
• 接触境界における近似品質を向上させるために、局所的な界面の拡張を導入する。
• 不連続ガラーキン（DG）に基づく安定化手順を適用し、界面を介した圧力の一貫性と正確な転送を保証する。
• ニュートン・ラプソン解法スキームにおける一貫性のある線形化を可能にするために、接触制約関数から導出したヤコビアンおよびヘッシアンを用いる。
• 非適合メッシュの結合にはマルチポイント制約（MPC）法を適用し、パッチテストおよび収束解析による検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の法線射影に依存する手法が失敗する鋭いコーナーや高次非線形表面において、接触制約をどのように定式化すれば効果的であるか？
• RQ2 非適合または滑らかでない界面を介した表面トラクションの正確で一貫性のある転送を保証する安定化技術は何か？
• RQ3 動的接触シミュレーションにおける衝突時、エネルギー保存をどのように保証できるか？
• RQ4 ノードから面へのギャップ関数をDG安定化と効果的に組み合わせることで、接触および結合問題におけるロバスト性が向上するか？
• RQ5 超弾性材料における非適合メッシュ結合の文脈で、提案された定式化は収束性および一貫性においてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたノードから面へのギャップ関数は、従来の射影ベース手法が失敗する非滑らか幾何形状、特に鋭いコーナーでも接触を正しく解消できることを示した。
• DGに基づく安定化により、界面を介した圧力の正確で一貫性のある転送が保証され、不適切な振動の発生を防ぎ、解の品質が向上した。
• 中点則時間積分スキームにラグランジュ乗数法を適用することで、衝突時におけるエネルギー保存が維持された。
• パッチテストに合格し、数値例において最適収束率を示した。これにより、一貫性と安定性が確認された。
• 本手法は、滑り接触や複雑な3次元接触シナリオ（例：ダブルキャニレバー・ビーム試験）に対しても、収束性が強く、正確な応力転送を実現した。
• 接触制約の線形化により対称ヘッシアンが得られ、効率的かつロバストなニュートン・ラプソン解法手順の実現が可能になった。