[論文レビュー] A stabilized nonconforming Nitsche's extended finite element method for Stokes interface problems

Xiaoxiao He, Fei Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非適合メッシュ上でのストークス界面問題に対して、界面を貫く調和加重フラックスとカットエッジにおける算術フラックスを用い、安定化項を追加することでインフラス条件を満たす安定化非適合ニーツェ法拡張有限要素法（NXFEM）を提案する。この手法は、粘度の跳躍や界面位置に対して最適収束速度とロバスト性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, a stabilized extended finite element method is proposed for Stokes interface problems on unfitted triangulation elements which do not require the interface align with the triangulation. The velocity solution and pressure solution on each side of the interface are separately expanded in the standard nonconforming piecewise linear polynomials and the piecewise constant polynomials, respectively. Harmonic weighted fluxes and arithmetic fluxes are used across the interface and cut edges (segment of the edges cut by the interface), respectively. Extra stabilization terms involving velocity and pressure are added to ensure the stable inf-sup condition. We show a priori error estimates under additional regularity hypothesis. Moreover, the errors {in energy and $L^2$ norms for velocity and the error in $L^2$ norm for pressure} are robust with respect to the viscosity {and independent of the location of the interface}. Results of numerical experiments are presented to {support} the theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 界面とメッシュが一致しない場合に生じるXFEMにおける混合有限要素法の不安定性を解消する。
• 非適合メッシュ上での非適合P1/P0有限要素ペアがインフラス条件を満たすことを保証する。
• 粘度の対比や界面位置にかかわらず、最適収束性とロバスト性を維持する手法を開発する。
• 非適合要素と安定化項を組み合わせ、速度および圧力の界面での不連続性を弱く強制するニーツェ法を統合する。

提案手法

• 界面の各側で、速度に対して一次多項式の非適合な部分、圧力に対して定数多項式の部分を用いる。
• 界面を貫くフラックスには調和加重フラックス、カットエッジには算術フラックスを適用し、連続性およびジャンプ条件を弱く強制する。
• 速度および圧力を含む追加の安定化項を導入し、混合式の安定化とインフラス条件の満たしを確保する。
• ニーツェ法を用いて界面条件を弱く強制し、界面に適合するメッシュの必要性を回避する。
• メッシュが界面に適合しなくてもよい非適合三角形分割を用い、複雑または時間に依存する界面に対しても効率的なメッシュ生成を可能にする。
• 追加の正則性仮定の下で事前誤差解析を実施し、エネルギーノルムおよびL²ノルムにおける収束推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合ニーツェのXFEMは、非適合メッシュ上でのストークス界面問題に対して最適収束を維持できるように安定化可能か？
• RQ2 流体相間の大きな粘度対比に対しても、この手法はロバストか？
• RQ3 速度および圧力の誤差は、メッシュに対する界面位置に依存しないか？
• RQ4 不連続性が存在する状況下でも、非適合P1/P0要素ペアのインフラス条件を保持できるか？
• RQ5 エネルギーノルムおよびL²ノルムにおける速度および圧力の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 最適収束速度が達成された：速度のL²ノルムで2次、圧力のエネルギーノルムおよびL²ノルムで1次。
• 速度のエネルギーノルムにおける誤差は1次で収束し、L²ノルムでは2次で収束し、数値的に確認された。
• 粘度の跳躍に対してロバストである：μ₁/μ₂が10から10⁵に増加しても誤差は一定であり、h = 1/32のとき、速度と圧力の誤差はそれぞれ約0.0737および0.0615に安定化した。
• 圧力のL²ノルムにおける誤差は、界面位置および粘度対比に依存せず、ロバスト性を示した。
• 数値実験により、複数のメッシュ細分化（h = 1/4から1/64）において最適収束次数が確認され、理論的分析を支持した。
• 安定化項が非適合P1/P0ペアのインフラス条件を効果的に維持し、非適合メッシュ上での安定な混合式を可能にした。