[論文レビュー] A stabilized second order exponential time differencing multistep method for thin film growth model without slope selection

Wenbin Chen, Weijia Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、no-slope-selection薄膜成長モデルに対して、人工安定化を組み合わせたフーリエ擬スペクトル空間離散化とETDに基づく時間積分を用いた、安定化された2次精度の指数時刻差分多段法（sETDMs2）スキームを提案する。この手法は、無条件での長時間エネルギー安定性と、$\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ノルムにおける$O(\tau^2)$収束を達成しており、数値実験により、スケーリング則における相対誤差が$\lesssim 4\%$以内の高精度な長時間粗大化ダイナミクスが再現されている。

ABSTRACT

In this paper, a stabilized second order in time accurate linear exponential time differencing (ETD) scheme for the no-slope-selection thin film growth model is presented. An artificial stabilizing term $Aτ^2\frac{\partialΔ^2 u}{\partial t}$ is added to the physical model to achieve energy stability, with ETD-based multi-step approximations and Fourier collocation spectral method applied in the time integral and spatial discretization of the evolution equation, respectively. Long time energy stability and detailed $\ell^{\infty}(0,T; \ell^2)$ error analysis are provided based on the energy method, with a careful estimate of the aliasing error. In addition, numerical experiments are presented to demonstrate the energy decay and convergence rate.

研究の動機と目的

• no-slope-selection薄膜成長モデルに対する高次元で、無条件エネルギー安定な時間積分スキームの開発。このモデルは、無限大に発散するマウンド勾配を示す長時間粗大化を示す。
• 勾配流れにおける非線形凹型項に対して2次精度エネルギー安定スキームを構築する課題を克服するため、人工安定化項を導入する。
• エネルギー法を用いて、厳密な長時間エネルギー安定性と、$\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ノルムにおける$O(\tau^2)$収束を確立する。
• エネルギー減少、収束率、表面粗さおよび勾配の長時間スケーリング則の正確な捉え込みを示す数値実験により、スキームを検証する。

提案手法

• 離散設定におけるエネルギー安定性を実現するため、物理的PDEに人工安定化項$A\tau^2 \frac{\partial \Delta^2 u}{\partial t}$を導入する。
• 時間離散化に2次精度の指数時刻差分（ETD）多段法を適用し、線形部を正確に積分し、非線形項を明示的に取り扱う。
• 空間離散化にフーリエ擬スペクトル法を用い、高い精度とスペクトル収束を確保する。
• 連続的なエネルギー減少性$\frac{dE}{dt} = -\|u_t\|_{L^2}^2$を模倣する離散エネルギー関数を構築する。
• エネルギー法を用いた詳細な誤差解析を行い、非線形項におけるアリヤス誤差の慎重な推定を実施する。
• 時間ステップを適応的に制御し、$t < 1000$では$\tau = 0.01$、$1000 \leq t < 2000$では$\tau = 0.02$、$t \geq 2000$では$\tau = 0.04$とする。ステップサイズを変更した後は、初期ステップを再利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 no-slope-selection薄膜モデルに対して、長時間エネルギー安定性を保証する2次精度時刻正確スキームを構築可能か？
• RQ2 人工安定化項の追加により、非線形項を明示的に取り扱う2次精度ETDスキームにおいてエネルギー安定性が達成可能か？
• RQ3 提案スキームの$\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ノルムにおける収束率は何か？また、その収束はどのような時間刻み制限のもとで成立するか？
• RQ4 このスキームは、長時間粗大化ダイナミクス、特に$h_{\mathcal{N}} \sim t^{1/2}$および$m_{\mathcal{N}} \sim t^{1/4}$のスケーリング則を正確に捉えることができるか？
• RQ5 長時間領域において、人工安定化パラメータ$A$の異なる値に対して、このスキームはどの程度頑健か？

主な発見

• sETDMs2スキームは、no-slope-selection薄膜成長モデルに対して、無条件での長時間エネルギー安定性を達成しており、離散エネルギーが時間とともに単調に減少する。
• エネルギー法とアリヤス誤差の制御を用いて、$\tau \leq \frac{1}{8}$のとき、$\ell^{\infty}(0,T;\ell^2)$ノルムにおける$O(\tau^2)$収束が理論的に証明された。
• 数値実験により、エネルギー減少と理論的予測と整合する収束率が確認され、$\ell^2$誤差ノルムが2次収束率に従って減少した。
• 平均表面粗さ$h_{\mathcal{N}}$は$t^{0.4865 \sim 0.4879}$に比例し、平均勾配$m_{\mathcal{N}}$は$t^{0.2609 \sim 0.2614}$に比例し、理論的予測の$t^{1/4}$および$t^{1/2}$とよく一致した。
• エネルギー$E_{\mathcal{N}}$は$-39.26 \sim -39.38 \ln t - 54.36$に比例し、$t$が大きい場合の理論的$O(-\ln t)$減少と整合的であった。
• 安定化パラメータ$A$の値を$A = 1/8$、$10^{-2}$、$\frac{2+\sqrt{3}}{6}$として変化させても、長時間におけるスケーリング挙動はほぼ同一であり、頑健性が示された。