[論文レビュー] A stabilized trace finite element method for partial differential equations on evolving surfaces

Christoph Lehrenfeld, Maxim A. Olshanskii+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定されたバックグラウンドメッシュと時間離散化有限差分法を用いて、時間変化する表面における偏微分方程式を解くために、安定化されたトレース有限要素法（TraceFEM）を提示する。この手法は、トレース式を安定化させ、解を体積近傍に拡張することにより、表面の位置に依存しない最適な誤差推定と条件数の上限を達成し、最適な収束を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we study a numerical method for the solution of partial differential equations on evolving surfaces. The numerical method is built on the stabilized trace finite element method (TraceFEM) for the spatial discretization and finite differences for the time discretization. The TraceFEM uses a stationary background mesh, which can be chosen independent of time and the position of the surface. The stabilization ensures well-conditioning of the algebraic systems and defines a regular extension of the solution from the surface to its volumetric neighborhood. Having such an extension is essential for the numerical method to be well-defined. The paper proves numerical stability and optimal order error estimates for the case of simplicial background meshes and finite element spaces of order $m\ge1$. For the algebraic condition numbers of the resulting systems we prove estimates, which are independent of the position of the interface. The method allows that the surface and its evolution are given implicitly with the help of an indicator function. Results of numerical experiments for a set of 2D evolving surfaces are provided.

研究の動機と目的

• 表面再構築や空間時間統合を必要としない、時間依存表面におけるPDEを解くためのロバストで不適合な有限要素法の開発。
• 時間変化表面における高次有限要素法の数値的安定性と最適収束率の確保。
• 表面の位置や幾何に依存しない、厳密な誤差推定と条件数の上限の提供。
• レベルセット関数を用いた暗黙的表面表現を維持しながら、精度と安定性を保つことの可能化。

提案手法

• 本手法は、静的バックグラウンドメッシュ上に安定化されたトレース有限要素式を用い、各時間ステップで解のトレースを時間変化表面に制限する。
• 条件数の制御と表面から近傍領域への解の体積的拡張を定義するために安定化項を追加する。
• 空間時間メッシュや空間時間多様体の再構築を避けるために、時間微分を標準的な有限差分法で近似する。
• 時間変化表面を暗黙的に記述するためのレベルセット関数を用いることで、表面追跡や明示的表面追跡を必要とせず、幾何的柔軟性を実現する。
• 重要な要素として、バックグラウンド領域への解の狭帯域拡張を用いることで、適切な定式化と安定性を確保する。
• 誤差の境界を導出するための幾何写像とトレース不等式を用いた解析により、拡張領域における誤差を制御し、最適な収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面再構築や空間時間メッシュの必要なしに、時間変化表面におけるPDEに対して安定的かつ最適収束する有限要素法を開発できるか？
• RQ2 表面の位置に依存しない良好な条件数を持つように、安定化をどのように設計できるか？
• RQ3 時間変化表面における高次有限要素法をトレース有限要素枠組みで用いた場合、どのような誤差推定が得られるか？
• RQ4 得られる線形方程式系の条件数を、表面の位置や曲率に依存しないように上限づけることができるか？
• RQ5 表面がレベルセット関数によって暗黙的に定義される場合、数値的性能はどのようになるか？

主な発見

• 単体的バックグラウンドメッシュ上での有限要素空間の次数 $ m \geq 1 $ に対して、最適な誤差推定が達成される。
• 代数的システムの条件数は、表面の位置や幾何に依存せず上限づけられており、ロバストな条件付けが保証される。
• 表面追跡や空間時間多様体の再構築を必要とせず、レベルセット関数による暗黙的表面記述が可能である。
• 2次元時間変化表面の数値実験により、理論的予想通りの最適収束率が確認され、理論的結果の妥当性が検証された。
• 解析により、誤差推定における法線微分項が安定化によって制御され、最終的な誤差推定が $ \delta_n $, $ h $, および $ \Delta t $ に依存することが示された。
• 標準的な仮定の下で、本手法は安定的かつ収束的であることが証明されており、最終的な誤差境界はメッシュサイズと時間刻みに最適にスケーリングされる。