[論文レビュー] A ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture

Jonathan Rosenberg, Stephan Stolz|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 1994

Advanced Operator Algebra Research被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、Gromov-Lawson予想の「安定版」を導入し、次のように提案する：次元 $n \geq 5$ の閉じたスピン多様体 $M$ が、ボット多様体 $B$（$KO_8(\text{pt})$ の周期性生成子を表す8次元多様体）と積を取った後、正のスカラー曲率計量をもつことと、そのディラック作用素のインデックスが $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ で消えることは同値である。著者らは、$KO$-理論、分類論、およびアセンブリーマップを用いて、有限基本群をもつすべてのスピン多様体および多くの無限基本群をもつ多様体に対してこの安定予想を証明した。

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Gromov and Lawson, later modified by Rosenberg, concerning the existence of metrics of positive scalar curvature. It says that a closed spin manifold $M$ of dimension $n\ge 5$ has such a metric if and only if the index of a suitable ``Dirac" operator in $KO_n(C^* (π_1(M)))$, the real $K$-theory of the group $C^*$-algebra of the fundamental group of $M$, vanishes. It is known that the vanishing of the index is necessary for existence of a positive scalar curvature metric on $M$, but this is known to be a sufficient condition only if $π_1(M)$ is the trivial group, $\Bbb Z/2$, an odd order cyclic group, or one of a fairly small class of torsion-free groups. \par We note that the groups $KO_n(C^*(π))$ are periodic in $n$ with period $8$, whereas there is no obvious periodicity in the original geometric problem. This leads us to introduce a ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture, which makes the weaker statement that the product of $M$ with enough copies of the ``Bott manifold" $B$ has a positive scalar curvature metric if and only if the index of the Dirac operator on $M$ vanishes. (Here $B$ is a simply connected $8$-manifold which represents the periodicity element in $KO_8(pt)$.) We prove the stable Gromov-Lawson conjecture for all spin manifolds with finite fundamental group and for many spin manifolds with infinite fundamental group.

研究の動機と目的

• 元の Gromov-Lawson 予想の限界を解消すること。これは、基本群が単純でない場合、正のスカラー曲率の十分条件として機能しないことによる。
• 幾何的問題における周期性の欠如を解消するために、ボット多様体 $B$ を用いた安定版を導入すること。
• 有限基本群をもつすべてのスピン多様体および多くの無限基本群をもつ多様体に対して、安定予想が成り立つことを証明すること。
• アセンブリーマップを通じて、$KO$-理論、分類論、および正のスカラー曲率計量の存在を結びつける枠組みを確立すること。
• 特に、非単連結および非スピンな普遍被覆をもつ場合における、ディラック作用素のインデックスが正のスカラー曲率の障害理論において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• $KO_8(\text{pt})$ の周期性生成子を表す simply connected な8次元多様体であるボット多様体 $B$ を導入し、幾何的問題を安定化する。
• 安定版 Gromov-Lawson 予想を定義する：ある $k$ に対して $M \times B^k$ が正のスカラー曲率計量をもつことと、$KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ におけるディラック作用素のインデックスが消えることは同値である。
• $KO_n(C^*(\pi))$ の8周期性を用いて、安定条件を元のインデックス障害と関連付ける。
• 分類論の定理を適用し、正のスカラー曲率計量の存在を $B\pi$ における $KO$-ホモロジー、特に $\widetilde{KO}_n(B\pi)$ と関連付ける。
• 手術定理を用いて、インデックスが消えるならば $M \times B$ が正のスカラー曲率計量をもつことを示す。これは $B$ が正のスカラー曲率をもつことを利用している。
• 巡回部分群と表現環を用いた帰納法により、有限基本群をもつ場合に $\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$ を示し、安定予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ におけるディラック作用素のインデックスが消えると、$M$ がボット多様体 $B$ と積を取った後、正のスカラー曲率計量をもつようになるか？
• RQ2 有限基本群をもつスピン多様体に対して、安定 Gromov-Lawson 予想を証明できるか？
• RQ3 無限基本群をもつスピン多様体、特に torsion-free または巡回部分群をもつものに対して、安定予想は成り立つか？
• RQ4 $KO$-理論の周期性は、正のスカラー曲率の幾何的問題とどのように関係するか？
• RQ5 アセンブリーマップと $KO$-ホモロジーは、正のスカラー曲率計量をもつ多様体の分類類を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 有限基本群をもつすべてのスピン多様体に対して、安定 Gromov-Lawson 予想が成り立つ。$\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$ が成り立つ。
• 有限群 $\pi$ に対して、$H$ を巡回部分群の範囲で走らせるときの $\bigoplus_{H}KO_*(BH)$ の $KO_*(B\pi)$ への像は有限指数をもち、一般の場合を巡回の場合に還元できる。
• $\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$ から $\widetilde{KO}_n(\mathbb{CP}^\infty)$ への写像 $p_*$ は自明であり、長完全系列における境界写像 $\partial$ は全射である。これにより、$\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$ のすべての元が正のスカラー曲率をもつ多様体によって代表されることが示される。
• 表現理論と表現環の構造を用いて、巡回の場合を拡張することで、多くの無限基本群をもつ多様体に対しても安定予想が証明された。
• $M$ が可縮的であり、その普遍被覆がスピンでない場合、積 $M \times B$ は常に正のスカラー曲率計量をもつ。なぜなら、$B$ は $\Omega_8^{SO}(pt)$ において $64$ 個の $\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times \mathbb{C}\mathbb{P}^2$ のコピーと同じ分類類をもつからである。
• 非スピン多様体ではディラック作用素の障害が存在しないが、最小超曲面法は依然として正のスカラー曲率を妨げる可能性がある。例として $T^6 \# (\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times S^2)$ が示されている。