[論文レビュー] A stack and a pop stack in series

Rebecca Smith, Vincent Vatter|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポップスタックの直後に標準スタックを接続するPSマシンを用いた順列のソートを調査し、許容可能な順列を禁止パターンの有限基底で特徴づけ、その正確な列挙を提示する。また、スタックの間にキューを挿入したより強力な変種PQSマシンを導入し、いくつかの予想を提示するが、完全な特徴づけには至らない。これは、単一スタックソートを越えるこのようなマシンの複雑さを示している。

ABSTRACT

We study sorting machines consisting of a stack and a pop stack in series, with or without a queue between them. While there are, a priori, four such machines, only two are essentially different: a pop stack followed directly by a stack, and a pop stack followed by a queue and then by a stack. In the former case, we obtain complete answers for the basis and enumeration of the sortable permutations. In the latter case, we present several conjectures.

研究の動機と目的

• ポップスタックの直後に標準スタックを接続するPSマシンによってソート可能な順列の集合を特徴づけること。
• PSマシンによってソート可能な順列の列挙を行うこと。
• ポップスタックの直後にキュー、さらにその後に標準スタックを接続するPQSマシンのより複雑なケースを調査すること。
• PQSマシンによってソート可能な順列のクラスが有限基底を持つかどうかを調査すること。
• 他の既知のソーティングマシン（例：DIマシン（減少スタックの次に増加スタック））とPSマシンおよびPQSマシンを比較すること。

提案手法

• 著者たちは、ポップスタックがその全内容物をLIFO順序で直接標準スタックに出力するPSマシンを分析する。
• 構造的分解とパターン回避の議論を用いて、許容可能な順列における禁止パターンを同定する。
• 「分割された順列」の概念を用い、要素の削除がパターンの包含に与える影響を分析する。
• 任意のこのような順列が特定のパターンを避けるセグメントに分割可能であることを示すことで、PSソート可能な順列が特定の構成を避けることを証明する。
• PQSマシンに関しては、対称性とキューを介したスタック系の既知の結果を用いて構造的制約を導出する。
• PermLabなどの計算ツールを用い、基底計算を支援し、PQSソート可能な順列の有限基底の存在を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポップスタックの直後に標準スタックを接続するPSマシンによってソート可能な順列の禁止パターンの有限基底は何か？
• RQ2 PSマシンによってソート可能な順列の正確な列挙は何か？
• RQ3 ポップスタックの直後にキュー、さらにその後に標準スタックを接続するPQSマシンによってソート可能な順列のクラスは有限基底を持つのか？
• RQ4 PSマシンは他の既知のソーティングマシン（例：DIマシン（減少スタックの次に増加スタック））と比較して、どの程度の能力を持つのか？
• RQ5 有限基底を持つ順列クラスの局所的反転に関する閉包は、必ずしも有限基底を持つとは限らないのか？

主な発見

• PSソート可能な順列は、231および2341パターンに関連する特定の構成を避ける有限基底の禁止パターンによって特徴づけられる。
• 本稿では、PSマシンによってソート可能な順列の正確な列挙が提示されているが、要約では明示的な公式は示されていない。
• PQSマシンに関しては、著者たちはいくつかの予想を提示しているが、有限基底や完全な列挙は確立されていない。
• PSマシンはDIマシン（減少スタックの次に増加スタック）の特殊ケースではあるが、両者のソート可能な順列のクラスは同等ではない。
• 著者たちは、PQSソート可能な順列が、231を避ける順列からの局所的反転によって得られることを示しており、既知の順列クラスとの構造的関連を示唆している。
• 本稿では、局所的反転が有限基底性を保つかどうかという未解決の問題を提起しており、証拠はその答えが「いいえ」である可能性を示唆している。