[論文レビュー] A statistical analysis of a deformation model with Wasserstein barycenters : estimation procedure and goodness of fit test

Eustasio del Barrio, Hélène Lescornel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Morphological variations and asymmetry参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、観測分布が未知の単調変換を介して共通のテンプレートの変形版であると仮定する変形モデルの適合度を検定する非パラメトリックな統計枠組みを提案する。Wasserstein重心に基づく基準を導入し、帰無仮説下でのWasserstein変動の漸近的分布を確立し、有限標本における推論に理論的保証をもたせたブートストラップに基づく検定手順を開発する。

ABSTRACT

We propose a study of a distribution registration model for general deformation functions. In this framework, we provide estimators of the deformations as well as a goodness of fit test of the model. For this, we consider a criterion which studies the Fr{é}chet mean (or barycenter) of the warped distributions whose study enables to make inference on the model. In particular we obtain the asymptotic distribution and a bootstrap procedure for the Wasserstein variation.

研究の動機と目的

• 観測分布が未知の単調変換を介して共通のテンプレートから生じるかどうかを検定する統計枠組みの構築を目的とする。
• 一般のワーピング関数を有する分布レジストレーションモデルにおいて、非パラメトリックな適合度検定の欠如に取り組むことを目的とする。
• Wasserstein重心を中央基準として用いることで、変形パラメータに関する推論のための整合的で原理的な手法を提供することを目的とする。
• 変形モデルの帰無仮説下でのWasserstein変動の漸近的分布を確立することを目的とする。
• 有限標本における有意水準の制御を可能にするために、検定統計量の経験的分布を近似するためのブートストラップベースの検定手順を構築することを目的とする。

提案手法

• 変形された分布のWasserstein重心を中央基準として用い、観測分布を整列・比較する。
• 変形下での経験的分布とその重心との間のWasserstein距離に基づくマッチング基準を定義する。
• 一般モデルおよび帰無仮説モデルの両設定において、重心のWasserstein変動に対する中心極限定理を適用する。
• 帰無仮説下での検定統計量の臨界分位点を推定するために、ブートストラップ手順を提案し、実用的な仮説検定を可能にする。
• 経験的測度の収束結果とデルタ法を用いて、帰無仮説下での検定統計量の漸近的正規性を導出する。
• カップリングの議論と経験的測度と真の測度の間のWasserstein距離のバインドを用いて、ブートストラップ手順の一致性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の変形モデルにおいて、分布が共通のテンプレートから変形されているかどうかを非パラメトリックに適合度検定できるか。
• RQ2 変形モデルの帰無仮説下で、重心のWasserstein変動の漸近的分布は何か。
• RQ3 有限標本における検定統計量の経験的分布をどのように近似すれば、第一種過誤を制御できるか。
• RQ4 ブートストラップ手順が有効であるための正則性条件は何か。
• RQ5 変形パラメータの推定が、検定統計量の漸近的挙動にどのように影響するか。

主な発見

• 一般モデルおよび帰無仮説モデルの両方において、重心のWasserstein変動の漸近的分布が導出され、帰無仮説下では特異な正規化が行われる。
• 検定統計量のためのブートストラップ手順は正当性が保証され、ブートストラップ近似の分布が真の標本分布に収束することが示された。
• 真の測度と経験的測度に基づく重心統計量の間のWasserstein距離は $ O_P(1/ abla{n}) $ のレートで収束し、一貫性が保証される。
• 正則性条件下で、検定統計量のブートストラップ版 $ ilde{v}_{m_n} $ は、$ ilde{v}_{m_n} ightharpoonup rac{1}{2v} ilde{ u} $ として分布収束する。ここで $ ilde{ u} $ は帰無仮説下での検定統計量の漸近的分散である。
• 帰無仮説下で検定統計量の漸近的分布がピルボティックであることが示され、ブートストラップによる臨界値推定が可能になった。
• Glivenko–Cantelli定理と経験的分位点の収束を用いて、ブートストラップに基づく分位点推定の一致性が確立された。