[論文レビュー] A Stepwise Planned Approach to the Solution of Hilbert's Sixth Problem. I : Noncommutative Symplectic Geometry and Hamiltonian Mechanics

Tulsi Dass|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 59被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換シンプレクティック幾何学とトポロジカル超代数に基づく非可換ハミルトニアン力学（NHM）の枠組みを提案し、物理学と確率論を統一し、ヒルベルトの第6問題に応える。2つの非超可換シンプレクティック超代数を組み合わせた際、普遍的なプランク定数が形式的になめらかに導かれることが示され、量子力学が独立した形式的枠組みとして、統一的力学の枠組み内で自然に組み込まれる基礎的かつ自己完結的な量子力学の定式化が確立される。

ABSTRACT

This series of papers is devoted to an open-ended project aimed at the solution of Hilbert's sixth problem (concerning joint axiomatization of physics and probability theory) proposed to be constructed in the framework of an all-embracing mechanics. In this first paper, the bare skeleton of such a mechanics is constructed in the form of noncommutative Hamiltonian mechanics (NHM) which combines elements of noncommutative symplectic geometry and noncommutative probability in the framework of topological superalgebras; it includes, besides NHM basics, a treatment of Lie group actions in NHM and noncommutative analogues of the momentum map, Poincar$\acute{e}$-Cartan form and the symplectic version of Noether's theorem. Canonically induced symplectic structure on the (skew) tensor product of two symplectic superalgebras (needed in the description of interaction between systems) is shown to exist if and only if either both system superalgebras are supercommutative or both non-supercommutative with a `quantum symplectic structure' characterized by a \emph{universal} Planck type constant; the presence of such a universal constant is, therefore, \emph{dictated} by the formalism. This provides proper foundation for an autonomous development of quantum mechanics as a universal mechanics.

研究の動機と目的

• ヒルベルトの第6問題が提示する、物理学と確率論の統一的で公理的枠組みの構築を目的とする。
• 量子力学を独立した分野として内包する、自己完結的な非可換ハミルトニアン力学（NHM）の構築を目的とする。
• トポロジカル超代数の文脈において、非可換シンプレクティック幾何学と非可換確率論を統一することを目的とする。
• 相互作用系におけるシンプレクティック構造の形式的帰結として、普遍的プランク定数の存在を確立することを目的とする。
• 単一で整合的な形式的枠組み内で、量子古典対応および測定の基礎を提供することを目的とする。

提案手法

• トポロジカル超代数上でスーパーデリバーレーションに基づく微分積分法を展開し、微分形式および写像の一般化を図る。
• 超代数上のポincare bracket およびシンプレクティック形式を用いて、非可換シンプレクティック構造を導入し、古典的ハミルトニアン力学を一般化する。
• 超代数の枠組みにおいて、状態空間とハミルトニアン汎関数に従う時間発展を用いて、非可換ハミルトニアン力学を定義する。
• 2つのシンプレクティック超代数の（反対称）テンソル積に、自然に誘導されるシンプレクティック構造を構成する。
• 超代数上のリー群作用を用いて、非可換モーメンタム写像、ポincare–カルタン形式、ネーターの定理の非可換類似物を一般化する。
• テンソル積上のシンプレクティック構造が存在するのは、両方の代数がともに超可換であるか、または非超可換でありながら普遍的プランク定数を持つ場合に限ることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの非可換シンプレクティック超代数のテンソル積上にシンプレクティック構造が存在する条件は何か？
• RQ2 非可換シンプレクティック幾何学の形式的枠組みから、恣意的に仮定するのではなく、プランク定数をどのように導出できるか？
• RQ3 非可換ハミルトニアン力学は、どのようにして古典的および量子的力学を特別な部分分野として統一するか？
• RQ4 一般化されたネーターの定理によって、非可換設定下で対称性と保存則はどのようにして導かれるか？
• RQ5 古典的極限を事前に仮定せずに、非可換ハミルトニアン枠組み内で相互作用する量子系を一貫して記述できるか？

主な発見

• 2つのシンプレクティック超代数の（反対称）テンソル積上に自然に誘導されるシンプレクティック構造が存在するのは、両方が超可換であるか、または両方が非超可換でありながら普遍的プランク定数を持つ場合に限る。
• 普遍的プランク定数の存在は、相互作用系における一貫性のあるシンプレクティック構造を要求するという形式的要請によって、形式的枠組みから自然に導かれる。
• 非可換ハミルトニアン力学（NHM）は、古典的力学と量子力学が特別な部分分野として自然に現れる統一的枠組みを提供する。
• 非可換モーメンタム写像およびシンプレクティック版ネーターの定理が、超代数的設定に成功裏に一般化された。
• NHMでは、古典的・量子的相互作用が存在しない問題は生じない。古典的系は、同じ形式的枠組み内で半古典的近似として扱える。
• 形式的枠組みは、事前に古典的基盤を仮定せず、量子力学を一貫的かつ自己完結的に展開可能にし、量子系は観測可能量と純粋状態の間の相互適合性によって定義される。