[論文レビュー] A Stepwise Planned Approach to the Solution of Hilbert's Sixth Problem. II : Supmech and Quantum Systems

Tulsi Dass|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 59被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、正の可観測量値をとる測度（PObVMs）と「適合完全性」（CC）条件を統合した、非可換ハミルトニアン力学の洗練された枠組みであるSupmechを提案する。この枠組みにより、古典的入力なしに、量子力学の自律的かつ普遍的な基礎が得られる。非可換な系代数によって代数的に定義された量子系は自然にヒルベルト空間表現を備え、シュレーディンガーの波動関数、ボルンの法則、シュレーディンガー方程式が自動的に導かれる。

ABSTRACT

Supmech, which is noncommutative Hamiltonian mechanics \linebreak (NHM) (developed in paper I) with two extra ingredients : positive observable valued measures (PObVMs) [which serve to connect state-induced expectation values and classical probabilities] and the `CC condition' [which stipulates that the sets of observables and pure states be mutually separating] is proposed as a universal mechanics potentially covering all physical phenomena. It facilitates development of an autonomous formalism for quantum mechanics. Quantum systems, defined algebraically as supmech Hamiltonian systems with non-supercommutative system algebras, are shown to inevitably have Hilbert space based realizations (so as to accommodate rigged Hilbert space based Dirac bra-ket formalism), generally admitting commutative superselection rules. Traditional features of quantum mechanics of finite particle systems appear naturally. A treatment of localizability much simpler and more general than the traditional one is given. Treating massive particles as localizable elementary quantum systems, the Schr$\ddot{o}$dinger wave functions with traditional Born interpretation appear as natural objects for the description of their pure states and the Schr$\ddot{o}$dinger equation for them is obtained without ever using a classical Hamiltonian or Lagrangian. A provisional set of axioms for the supmech program is given.

研究の動機と目的

• 非可換ハミルトニアン力学（NHM）における基礎的欠陥を解消するため、PObVMsとCC条件を導入すること。
• 追加の公理を必要とせず、量子系をヒルベルト空間形式と滑らかに接続できる普遍的な力学的枠組み—Supmech—を確立すること。
• 波動関数、ボルンの法則、シュレーディンガー方程式などの標準的量子力学的特徴を、代数的原理から自律的に導出すること。
• Supmech枠組み内での$α \to 0$極限を通じて、量子古典対応を明確にすること。
• 非超可換代数とCC条件の物理的妥当性を、量子現象の自然な出現を通じて正当化すること。

提案手法

• 期待値と古典的確率を結びつけるために、正の作用素値測度の一般化としてPObVMsを導入する。
• 観測量と純粋状態の対の互いに分離する集合を保証するCC条件を課し、量子系の一貫性のあるヒルベルト空間表現を確保する。
• 非超可換な系代数を持つSupmechハミルトニアン系として量子系を定義し、不可約または直和のヒルベルト空間表現を保証する。
• 位相空間記述における量子系の分析のため、ワイル＝ウィグナー＝モアル形式を適用し、$α \to 0$極限を検討する。
• 相対性群（例：ガリレオ群）を用いて、基本的観測量を特定し、一貫した力学を可能にする。
• 古典的ラグランジアンやハミルトニアンを仮定せず、代数的構造と量子シンプレクティック形式から直接シュレーディンガー方程式と波動関数形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換ハミルトニアン力学を、古典的確率とヒルベルト空間構造を一貫して統合できるように拡張する方法は何か？
• RQ2 代数的に定義された量子系が忠実なヒルベルト空間表現を備えるために必要な条件は何か？
• RQ3 シュレーディンガー方程式とボルンの法則は、古典的入力なしに代数的原理からどのように自律的に出現するか？
• RQ4 CC条件は、抽象的代数と標準的量子力学の間の接続をどのように促進するか？
• RQ5 Supmech枠組み内での$α \to 0$極限を通じて、量子古典対応はどのように実現されるか？

主な発見

• PObVMsの導入により、実験的に測定可能なすべての確率が、可観測量値をとる測度の期待値として表現可能となり、Supmech内での量子的・古典的確率の統合が達成される。
• CC条件により、非超可換な系代数が忠実なヒルベルト空間表現を備えることが保証され、有限生成代数では不可約表現が得られ、一般には可換なスーパーセレクション規則が成立する。
• 伝統的なボルン解釈を備えたシュレーディンガーの波動関数は、局在可能な基本的量子系の純粋状態記述として自然に出現する。
• シュレーディンガー方程式は、量子シンプレクティック構造とハミルトニアン力学の結果として導かれるが、古典的ハミルトニアンを仮定しない。
• プランク定数$\hbar$は、量子シンプレクティック形式に一度だけ導入され、すべての標準的量子力学的構造に自動的に現れる。
• $α \to 0$極限において、非可換なSupmech系は古典的ハミルトニアン系に還元され、量子古典対応を明確かつ一般に記述する枠組みが得られる。