[論文レビュー] A stochastic approach to mixed linear and nonlinear inverse problems with applications to seismology.

Darko Volkov|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 20被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、ノイズが混在するデータと不適切に定義された線形成分を有する混合線形・非線形逆問題に対する確率的アルゴリズムを提案する。非線形パラメータと正則化パラメータを確率変数としてモデル化し、連合事後分布を導出することで、並列サンプリングを用いた後験的期待値および共分散の効率的計算が可能となり、地震学的応用において、一般化交差検証や不一致原理といった従来手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

We derive an efficient stochastic algorithm for computational inverse problems that present an unknown linear forcing term and a set of nonlinear parameters to be recovered. It is assumed that the data is noisy and that the linear part of the problem is ill-posed. The vector of nonlinear parameters to be recovered is modeled as a random variable. This random vector is augmented by a random regularization parameter for the linear part. A probability distribution function for this augmented random vector knowing the measurements is derived. We explain how this derivation is related to the maximum likelihood regularization parameter selection [Galatsanos and Katsaggelos, 1992], which we generalize to the case where the underlying linear operator is rectangular and depends on a nonlinear parameter. A major difference in our approach is that, unlike in [Galatsanos and Katsaggelos, 1992], we do not limit ourselves to the most likely regularization parameter, instead we show that due to the dependence of the problem on the nonlinear parameter, there is a great advantage in exploring all positive values of the regularization parameter. Based on our new probability distribution function, we construct a choice sampling algorithm to compute the posterior expected value and covariance of the nonlinear parameter. This algorithm is greatly accelerated by using a parallel platform where we alternate computing proposals in parallel and combining proposals to accept or reject them as in [Calderhead, 2014]. Finally, our new algorithm is illustrated by solving an inverse problem in seismology. We show how our algorithm performs in that example and how it is able to compute marginal posterior probability functions even in the presence of strong noise. We discuss why this problem can not be approached by using the Generalized Cross Validation method or the discrepancy principle.

研究の動機と目的

• ノイズが混在するが、線形部分が不適切に定義された混合線形・非線形逆問題に対処すること。
• 一般化交差検証や不一致原理といった古典的手法の正則化パラメータ選択法の限界を克服すること。
• 非線形パラメータと正則化パラメータの両方を確率変数として扱うベイズフレームワークを構築すること。
• 強いノイズと不適切に定義された問題に対しても、非線形パラメータの事後期待値および共分散を効率的に計算すること。
• 実世界の地震学的逆問題における本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 非線形パラメータを確率的ベクトルとしてモデル化し、正則化パラメータを追加の確率変数として追加して拡張された確率的ベクトルを形成する。
• ノイズ混在測定値を前提に、拡張ベクトルの連合事後確率分布を導出する。これにより、長方形および非線形に依存する作用素に対しても、最尤正則化選択の一般化が可能になる。
• 正則化パラメータを最も可能性の高い値に固定するのではなく、正の正則化値の全範囲を探索することで、不確実性を考慮する。
• 複数のプロセッサ上で並列して提案生成と受容/拒否ステップを交互に繰り返すことで、収束を高速化するマルコフ連鎖モンテカルロサンプリングアルゴリズムを設計する。
• 正則化パラメータの不確実性を含めた、事後分布全体にわたる統合により、非線形パラメータの事後期待値および共分散を計算する。
• 本手法は、ノイズ混在データからの波場再構成を含む地震学的逆問題において検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化パラメータを確率変数として扱うベイズフレームワークが、混合線形・非線形逆問題における推論をどのように改善するか。
• RQ2 最適な値を1つ選ぶのではなく、正則化パラメータの全範囲を探索することで、強いノイズ下での頑健性がどのように向上するか。
• RQ3 一般化交差検証や不一致原理といった従来手法が、この種の逆問題に対して不適切である理由は何か。
• RQ4 不確実性を伴う正則化パラメータを伴う高次元逆問題において、並列サンプリングが事後計算の高速化にどの程度寄与するか。
• RQ5 本手法は、実際の地震学的応用において、非線形パラメータの周辺事後確率関数をどの程度正確に回復できるか。

主な発見

• 提案手法は、従来手法が失敗する強いノイズ下でも、非線形パラメータの事後期待値および共分散を正確に計算できた。
• 正則化パラメータの正の全値を探索することで、最も可能性の高い値に固定する手法よりも、不確実性をより正確に捉えることができた。
• 一般化交差検証や不一致原理は、線形作用素の非線形的依存性のため、本文の文脈では不適応であることが示された。これに対して、本手法は優れた性能を示した。
• 非線形パラメータの周辺事後確率関数が正確に回復され、信頼性のある不確実性評価が可能となった。
• 並列サンプリングの使用により、計算が著しく高速化され、複雑な逆問題における事後推論が現実可能となった。
• 本手法は地震学的逆問題において検証され、ノイズ混在データからの波場再構成において、頑健性と正確性を示した。