[論文レビュー] A stochastic approximation method for chance-constrained nonlinear programs

Rohit Kannan, James Luedtke|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的制約付き非線形計画問題を、目的関数値と制約違反リスクの両方をバランスさせる二目的問題に再定式化することで、確率的近似法を提案する。滑らか化近似と射影確率的劣勾配法を用いることで、サンプル平均近似よりも優れた有効フロンティアの近似に収束し、3つのベンチマーク問題において一貫した性能向上を示し、固定リスクレベルに対して二分探索法を用いる。

ABSTRACT

We propose a stochastic approximation method for approximating the efficient frontier of chance-constrained nonlinear programs. Our approach is based on a bi-objective viewpoint of chance-constrained programs that seeks solutions on the efficient frontier of optimal objective value versus risk of constraints violation. In order to be able to apply a projected stochastic subgradient algorithm to solve our reformulation with the probabilistic objective, we adapt existing smoothing-based approaches for chance-constrained problems to derive a convergent sequence of smooth approximations of our reformulated problem. In contrast with exterior sampling-based approaches (such as sample average approximation) that approximate the original chance-constrained program with one having finite support, our proposal converges to local solutions of a smooth approximation of the original problem, thereby avoiding poor local solutions that may be an artefact of a fixed sample. Computational results on three test problems from the literature indicate that our proposal is consistently able to determine better approximations of the efficient frontier than existing approaches in reasonable computation times. We also present a bisection approach for solving chance-constrained programs with a prespecified risk level.

研究の動機と目的

• 確率的制約付き非線形計画問題における有効フロンティア近似の挑戦に取り組む。ここで、目的関数性能と制約違反リスクのトレードオフが重要である。
• 固定サンプリングに起因するアーティファクトにより、局所解が悪化する可能性がある外部サンプリング手法（例：サンプル平均近似）の限界を克服する。
• 確率的劣勾配法を適用可能な滑らかで収束する近似スキームを構築し、再定式化された二目的問題に適用可能にする。
• 二分探索法を用いて、事前に指定されたリスクレベルを持つ確率的制約付き計画問題を信頼性高く解く手法を提供する。
• 既存の確率的およびサンプリングベースの手法と比較して、有効フロンティア近似における計算効率と解の品質を向上させる。

提案手法

• 確率的制約付き非線形計画問題を、最適な目的関数値と制約違反リスクの両方をバランスさせる二目的最適化問題に再定式化する。
• 滑らか化された再定式化に対して、射影確率的劣勾配法を適用し、滑らかな近似の局所解に収束可能にする。
• 確率的制約付き問題に既存の滑らか化技術を適応し、元の問題に収束する滑らか化近似の系列を生成する。
• 事前に指定されたリスクレベルを持つ確率的制約付き計画問題を解くために、二分探索アルゴリズムを用い、所望の確率的境界内で実行可能解を保証する。
• 非滑らか性を有する確率的制約を扱うための滑らか化戦略を採用し、勾配ベースの手法が効果的に適用可能になるようにする。
• 確率的近似と滑らか化を統合することで、固定サンプル法（例：サンプル平均近似）に内在する不安定性とバイアスを回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らか化と劣勾配最適化に基づく確率的近似法は、確率的制約付き非線形計画問題の有効フロンティア近似において、サンプル平均近似を上回る性能を示せるか？
• RQ2 確率的制約付き問題の二目的定式化を、滑らか化近似を用いた確率的劣勾配法で効果的に解く方法は何か？
• RQ3 提案手法は、サンプル平均近似における固定サンプリングに起因する悪質な局所最適解をどれほど回避できるか？
• RQ4 二分探索に基づくアプローチは、事前に指定されたリスクレベルを持つ確率的制約付き計画問題を信頼性高く解くことができるか？収束性と解の品質を維持できるか？
• RQ5 標準的なテスト問題において、提案手法の計算効率と解の正確性は、既存の手法と比較してどの程度優れているか？

主な発見

• 提案手法は、3つのベンチマークテスト問題において、既存の手法よりも一貫して優れた有効フロンティアの近似を生成する。
• 滑らかな近似の局所解への収束により、固定サンプリングに起因する誤った局所最適解が一般的に生じるサンプル平均近似とは異なり、そのような誤った解を回避する。
• 計算結果から、妥当な計算時間内に解の品質が向上していることが示され、実用的な効率性を示している。
• 二分探索アプローチにより、事前に指定されたリスクレベルを持つ確率的制約付き計画問題を信頼性高く解くことが可能となり、リスク回避型最適化の実用的ツールを提供する。
• 滑らか化に基づく近似を用いることで、非滑らかな確率的制約付き問題に対しても確率的劣勾配法を適用可能にし、アルゴリズムの安定性と収束性を向上させる。
• テスト問題において、本手法は頑健性とスケーラビリティを示しており、より大規模または複雑な確率的制約付き計画問題への応用可能性を示唆している。