[論文レビュー] A stochastic Fokker-Planck equation and double probabilistic representation for the stochastic porous media type equation

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、無限体積における乗法的カラー雑音を伴う確率的多孔質媒体方程式の解について、確率的係数を有する確率的フォッカー・プランク方程式を用いて二重確率的表現を確立する。主な貢献は、可測で有界であり、退化する可能性のある確率的係数を有する線形SPDE（フォッカー・プランク型）に対する一意性補題の確立であり、これにより、独立したブラウン運動によって駆動される確率的係数を有するSDEによるパスごとの解の構成が可能となる。

ABSTRACT

The purpose of the present paper consists in proposing and discussing a double probabilistic representation for a porous media equation in the whole space perturbed by a multiplicative colored noise. For almost all random realizations $ω$, one associates a stochastic differential equation in law with random coefficients, driven by an independent Brownian motion. The key ingredient is a uniqueness lemma for a linear SPDE of Fokker-Planck type with measurable bounded (possibly degenerated) random coefficients.

研究の動機と目的

• 無限空間における乗法的カラー雑音を伴う確率的多孔質媒体方程式のための確率的表現を開発すること。
• 非線形性 $\psi$ の退化および非退化の場合の両方において、$L^1(\mathbb{R})$ における解の存在および一意性を確立すること。
• 可測で有界であり、退化する可能性のある確率的係数を有する線形確率的フォッカー・プランク方程式に対する一意性補題を証明すること。
• 古典的確率的表現（例：McKean, 1976）を乗法的雑音を伴う確率的設定に拡張すること。
• 独立したブラウン運動によって駆動される確率的係数を有する「法則に関する確率的微分方程式」を用いたパスごとの解フレームワークを提供すること。

提案手法

• $N$ 個の独立したブラウン運動によって駆動される乗法的雑音を伴う非線形SPDEとして、確率的多孔質媒体方程式を定式化する。
• 確率的係数 $e^i(\xi)$ および $e^0(\xi)$ を有する確率的フォッカー・プランク方程式を導入し、雑音および拡散成分を表す。
• ほとんど至るところの $\omega$ に対して、確率的係数を有する「法則に関する確率的微分方程式」と関連付けることにより、二重確率的表現を構築する。
• $e^i$ の $H^{-1}$-乗数性を用いて、$H^{-1}$-位相におけるSPDEの適切な定義を保証する。
• 正則化および極限手続き（$\varepsilon \to 0$）を適用し、エネルギー推定を導出し、マルティングール項の収束を確立する。
• 局所化およびグロワールの補題を用いて、$H^{-1}$-ノルムにおける解のパスごとの一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限体積における乗法的カラー雑音を伴う確率的多孔質媒体方程式に対して、二重確率的表現を構築できるか？
• RQ2 可測で有界であり、退化する可能性のある確率的係数を有する線形確率的フォッカー・プランク方程式は、一意な解を有するか？
• RQ3 確率的手法を用いて、確率的多孔質媒体方程式の解のパスごとの一意性をどのように確立できるか？
• RQ4 $H^{-1}$-乗数性がSPDEの適切な定義を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 古典的確率的表現フレームワークは、乗法的雑音を伴う確率的設定に拡張可能か？

主な発見

• 乗法的カラー雑音を伴う確率的多孔質媒体方程式に対して、$\mathbb{R}$ 上で二重確率的表現が構築され、解が確率的係数を有する「法則に関する確率的微分方程式」と関連づけられる。
• 可測で有界であり、退化する可能性のある確率的係数を有する線形SPDE（フォッカー・プランク型）に対する一意性補題が証明され、これが構築の中心的役割を果たす。
• $H^{-1}$-ノルムにおけるエネルギー推定およびグロワールの補題を用いて、確率的多孔質媒体方程式の解のパスごとの一意性が確立される。
• $\psi$ の退化および非退化の場合の両方において、$\psi$ および $e^i$ に対する与えられた仮定の下で、解は $L^1(\mathbb{R})$ に存在し、それらが進化する。
• エネルギー推定におけるマルティングール項の収束が、$H^{-1}$-ノルムの制御およびリプシッツ性を用いて、ucp（コンパクト集合上で一様に）成り立つことが示される。
• 本手法は、$\psi$ がゼロの後で厳密に増加するなど、退化する場合（例：$\psi$ がゼロの後で厳密に増加）および非退化する場合（後者では $\Phi(0) > 0$ を要件とする）の両方に適用可能である。