[論文レビュー] A stochastic Gronwall inequality and applications to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, and perturbations

Anselm Hudde, Martin Hutzenthaler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一方向のアフィン線形成長条件の下で、多次元 Itô 过程に対して、新たな確率的 Gronwall-Lyapunov 不等式を確立し、SDE のモーメント推定値の向上、強い局所リプシッツ連続性、強い完全性、摂動バウンドを可能にする。主な貢献は、ヤングの不等式の非最適な使用を避けることで、p ≥ 2 に対してより鋭い L^p モーメントバウンドを達成し、従来の手法よりもタイトでより一般的な結果をもたらす点にあり。

ABSTRACT

There are numerous applications of the classical (deterministic) Gronwall inequality. Recently, Michael Scheutzow discovered a stochastic Gronwall inequality which provides upper bounds for $p$-th moments, $p\in(0,1)$, of the supremum of nonnegative scalar continuous processes which satisfy a linear integral inequality. In this article we complement this with upper bounds for $p$-th moments, $p\in[2,\infty)$, of the supremum of general It\^o processes which satisfy a suitable one-sided affine-linear growth condition. As example applications, we improve known results on strong local Lipschitz continuity in the starting point of solutions of stochastic differential equations (SDEs), on (exponential) moment estimates for SDEs, on strong completeness of SDEs, and on perturbation estimates for SDEs.

研究の動機と目的

• アフィン線形成長条件の下で、p ≥ 2 のための鋭い L^p モーメント推定値が不足している Itô 过程の問題に対処すること。
• モーメント導出においてヤングの不等式に依存する従来の手法の非最適性を克服すること。
• SDE に対して、強い初期値に関する局所リプシッツ連続性および強い完全性を含む、より強い理論的保証を確立すること。
• 数値近似および確率的モデルのための改善された摂動推定値を導出すること。

提案手法

• ヤングの不等式を避けるために、伊藤の公式と精緻化されたグローヴァル・ベルマン・オピアル不等式を用いて、新規の確率的 Gronwall-Lyapunov 不等式を導出する。
• 一方向のアフィン線形成長条件の下で、Itô 过程のノルムの p 階モーメントに不等式を適用する。
• p 階モーメント過程の確実な恒等式を導出するために、指数型積分因子を用いる。
• 過程の本質的上限に関する、初期データおよびノイズ係数に明示的な依存関係を有する、マージナルおよび一様なモーメントバウンドを確立する。
• 主な不等式を応用して、SDE に対する改善された推定値（指数モーメント、強い完全性、摂動バウンドを含む）を導出する。
• 非グローバル単調性を有する SDE への応用を通じて、手法の有効性を検証し、古典的手法に比べてよりタイトなバウンドを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン線形成長条件下で、p ≥ 2 に対して、ヤングの不等式の非最適な使用を避けることのできる、多次元 Itô 过程のより鋭い L^p モーメントバウンドを導出可能か？
• RQ2 確率的 Gronwall-Lyapunov 不等式は、SDE 解の初期値に関する強い局所リプシッツ連続性の分析をどのように改善するか？
• RQ3 新しい不等式は、SDE の指数モーメント推定値および強い完全性にどのような改善をもたらすか？
• RQ4 不等式は、たまめイーラー法などの数値スキームに対して、新たなよりタイトな摂動推定値をもたらすか？
• RQ5 新しいバウンドは、決定的係数からランダムで適応的係数への一般化において、どの程度拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、ヤングの不等式による非最適推定を避けることで、p ≥ 2 に対して従来の手法よりもタイトな L^p モーメントバウンドを達成する、新たな確率的 Gronwall-Lyapunov 不等式を確立した。
• 一方向のアフィン線形成長条件を満たす SDE に対して、新しいバウンドは指数モーメント推定値を改善し、解の経路に対するより強い制御を可能にする。
• 不等式により、グローバル単調性がなくても、初期値に関する強い局所リプシッツ連続性の分析が著しく改善される。
• 本手法により、特にたまめイーラースキームに対して、従来の結果よりもタイトでより一般的な一様摂動推定値（例：補題 3.11）が得られる。
• フレームワークにより、係数のグローバル単調性を要件としない、2回連続微分可能な SDE 解の導出が可能になる。
• 理論的結果は、超線形成長係数を有する SDE や SPDE への応用を通じて検証され、古典的手法が失敗する状況でも有効であることが示された。