[論文レビュー] A stochastic maximum principle via Malliavin calculus

Thilo Meyer‐Brandis, Xun Yu Zhou+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、マリヤン微分法を用いて、部分情報下でのイト＝レヴィ過程の最適制御に対する確率的最適性原理を確立し、随伴方程式の解の存在を仮定せずに、明示的な随伴過程の導出を実現した。主な貢献は、随伴過程のための新規なマリヤン微分型方程式の導出であり、これは非マルコフ型で確率係数を有する状況、ジャンプ拡散過程、遅延情報が存在する状況においても最適制御を明示的に特徴づけることを可能にする。

ABSTRACT

This paper considers a controlled Itô-Lévy process where the information available to the controller is possibly less than the overall information. All the system coefficients and the objective performance functional are allowed to be random, possibly non-Markovian. Malliavin calculus is employed to derive a maximum principle for the optimal control of such a system where the adjoint process is explicitly expressed.

研究の動機と目的

• システムの係数と性能関数が確率的かつ非マルコフ型である最適確率的制御問題に取り組み、標準的な動的計画法の手法では困難である問題を扱う。
• 制御者が得る情報の流れが完全なフィルトレーションよりも厳密に制限された部分情報制御問題を定式化し、遅延観測や不完全観測をモデル化する。
• ジャンプを含む確率係数付きの制御イト＝レヴィ過程に対する最適性原理を確立し、随伴過程をマリヤン微分法を用いて明示的に表現する。
• 先行研究の制限である随伴方程式の解の存在を事前に仮定する必要を回避し、特に部分情報設定下ではしばしば成立しないこの仮定の欠如を是正する。
• 一般の情報構造下で非マルコフ型かつ非予知的制御が可能なフレームワークを提供し、古典的な部分観測モデルを越えて拡張する。

提案手法

• マリヤン微分法を用いて、マリヤン微分を介した双対表現を導出し、最適性原理における随伴過程の明示的計算を可能にする。
• 測度変更の下でクラーク＝オーケンの公式とギルサノフの定理を用い、マリヤン微分を含む条件付き期待値を表現する。
• 随伴過程のための新しいタイプの方程式（マリヤン微分型方程式）を導出し、マリヤン微分の条件付き期待値を含む。
• ジャンプ拡散を扱うために、補正されたジャンプ測度とリーヴィ測度の積分を随伴方程式の定式化に組み込む。
• ウィエン＝イトウのホーナ展開とホーナ分解を用いて、$ L^2 $ 内の確率変数を表現し、マリヤン微分の解析を容易にする。
• 性能関数のマリヤン微分を含む変分不等式を通じて最適性条件を確立し、最適性の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御者が部分情報しか得られない状況で、係数が確率的であるジャンプ拡散過程の最適制御に対して、どのように確率的最適性原理を導出できるか。
• RQ2 特に非マルコフ型設定下において、随伴過程の存在を事前に仮定せずに、最適性原理における随伴過程を明示的に表現できるか。
• RQ3 マリヤン微分法は、部分情報下で拡散成分とジャンプ成分を併せ持つシステムにおいて、最適制御をどのように特徴づけるか。
• RQ4 提案されたフレームワークは、制御者がノイズを含む状態信号を観測する古典的部分観測モデルとどのように異なるか。
• RQ5 マリヤン微分法のアプローチからどのような新規なタイプの方程式が導かれるか。また、その方程式は特殊な場合に最適制御を特徴づけるためにどのように利用できるか。

主な発見

• 本稿では、部分情報設定下での最適制御の特徴づけに不可欠な、新規なタイプの「マリヤン微分型方程式」を導出した。
• 随伴過程がマリヤン微分の形で明示的に表現されており、随伴方程式の解の存在を仮定する必要がなく、先行研究における主要な制限を回避している。
• ジャンプが存在せず、情報が完全（$ \mathcal{E}_t = \mathcal{F}_t $）な特別な場合、最適制御 $ \hat{u}(t) $ は測度変更下でのマリヤン微分の条件付き期待値を含む式で与えられる。
• 効用関数 $ U(x) = \frac{1}{\gamma}x^\gamma F(\omega) $ の場合、最適ポートフォリオは、ラドン＝ニコディム導関数とマリヤン微分を含む条件付き期待値の比によって明示的に特徴づけられる。
• 解は測度変更 $ dQ = N_T dP $ を用いて得られ、ここで $ N_t = \exp\left(-\int_0^t \frac{\alpha_s}{\beta_s} dB_s - \frac{1}{2}\int_0^t \left(\frac{\alpha_s}{\beta_s}\right)^2 ds\right) $ であり、$ Q $ の下でクラーク＝オーケンの公式を適用可能にする。
• 最終資産 $ \hat{X}(T) $ は、$ E[ U'(\hat{X}(T)) (\alpha_T - \rho_T) + \beta_T D_T U'(\hat{X}(T)) \mid \mathcal{E}_T ] = 0 $ を満たすことで決定され、これは最適終端資産と導関数構造を結ぶマリヤン型方程式である。