[論文レビュー] A stochastic model of evolution

Hervé Guiol, Fábio P. Machado+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、種が[0,1]から一様に抽出された適応度で誕生し、死亡時に常に最も適応度が低い種が除去される確率的進化モデルを提案する。出生率が死亡率を上回る場合、鋭い適応度閾値 $ f_c = (1-p)/p $ が出現する：適応度が $ f_c $ 以下の種はほとんど確実に消滅し、$ f_c $ より高い適応度の種は $ (f_c, 1) $ 上で一様分布を示す。これは進化的ダイナミクスにおける相転移を示している。

ABSTRACT

We propose a stochastic model for evolution. Births and deaths of species occur with constant probabilities. Each new species is associated with a fitness sampled from the uniform distribution on [0,1]. Every time there is a death event then the type that is killed is the one with the smallest fitness. We show that there is a sharp phase transition when the birth probability is larger than the death probability. The set of species with fitness higher than a certain critical value approach an uniform distribution. On the other hand all the species with fitness less than the critical disappear after a finite (random) time.

研究の動機と目的

• 適応度に依存する選択を伴う、確率的出生・死滅過程を用いた進化的ダイナミクスのモデル化。
• 出生率と死亡率が長期的な種の適応度分布に与える影響の調査。
• 一時的から持続的種に分かれる臨界適応度閾値 $ f_c $ の出現の分析。
• ランダムな絶滅イベントが存在する中でも、生存種の上昇分布が漸近的に一様であることを確立すること。

提案手法

• 種は確率 $ p $ で追加され、確率 $ q = 1-p $ で除去され、各々は一様分布[0,1]から独立同分布に従って適応度が割り当てられる。
• 死亡イベントごとに、最も適応度が低い種が除去され、常に「最も適応度が低い種を排除する」ルールが適用される。
• 閾値 $ f_c = (1-p)/p $ 以下の種の数と、それ以上の種の数を追跡する。この $ f_c $ は $ p > 1/2 $ の場合に定義される。
• $ L_n $（$ f_c $ より低い適応度の種）のダイナミクスは、ゼロ再帰的な出生・死滅チェインとしてモデル化される。
• 大偏差と単純な対称ランダムウォークへのカップリングを用いて、$ L_n $ が空集合である回数の上限を求める。
• ボレル＝カンテリの補題と大数の法則を用いて、ほとんど確実な収束結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定の出生率と死亡率を持つ確率的進化モデルにおいて、臨界適応度閾値 $ f_c $ が出現するか？
• RQ2 「最も適応度が低い種を排除する」ルールのもとで、適応度が $ f_c $ より低い種は長期的にどうなるか？
• RQ3 適応度が $ f_c $ より高い生存種の分布は、漸近的に一様か？
• RQ4 出生率 $ p $ は適応度閾値 $ f_c $ の位置にどのように影響するか？
• RQ5 ランダムな絶滅イベントが存在する中でも、高適応度種の漸近的均一性は証明可能か？

主な発見

• 適応度が $ f_c $ より低い種の数、$ |L_n| $ はゼロ再帰的であり、ほとんど確実に無限回ゼロに達する。
• 適応度が $ f_c $ より高い種は、$ (f_c, 1) $ 上で漸近的に一様分布を示す。$ f_c < a < b < 1 $ に対して、$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}|R_n \cap (a,b)| = p(b-a) $ がほとんど確実に成り立つ。
• $ f_c $ より低い種が存在しない回数、$ t_n $ は、十分大きな $ n $ に対して、ほとんど確実に $ \frac{2}{pf_c}n^{1/2+\epsilon} $ で有界である。
• 閾値 $ f_c = \frac{1-p}{p} $ は臨界的である：適応度が $ f_c $ より低い種は永続的に生存できない。
• 生存種の漸近的均一性は、一様分布からの適応度抽出に限らず、任意の固定された連続的適応度分布に対しても成り立ち、極限は $ p \cdot P(a < X < b) $ となる。
• 本モデルは、人口規模が確率的であるのを許容し、高適応度種の均一性を証明する点で、バク＝スネッペンモデルを一般化している。この性質は元のモデルでは未だ証明されていない。