[論文レビュー] A Stochastic Partially Reversible Investment Problem on a Finite Time-Horizon: Free-Boundary Analysis

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 71被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、企業が費用のかかる投資と解体を通じて生産能力を最適に調整する有限時間ホライズンの確率的かつ部分的に可逆な投資問題を研究する。最適制御の存在と一意性を確立し、非線形ボルテラ積分方程式の系を解く2つの連続的で有界かつ単調な境界からなる自由境界問題を通じて解を特徴づけ、これにより移動する境界で反射する拡散過程が得られる。

ABSTRACT

We study a continuous-time, finite horizon, stochastic partially reversible investment problem for a firm producing a single good in a market with frictions. The production capacity is modeled as a one-dimensional, time-homogeneous, linear diffusion controlled by a bounded variation process which represents the cumulative investment-disinvestment strategy. We associate to the investment-disinvestment problem a zero-sum optimal stopping game and characterize its value function through a free-boundary problem with two moving boundaries. These are continuous, bounded and monotone curves that solve a system of non-linear integral equations of Volterra type. The optimal investment-disinvestment strategy is then shown to be a diffusion reflected at the two boundaries.

研究の動機と目的

• 市場の摩擦を含む有限時間の確率的モデルにおける最適投資・解体戦略の存在と一意性を確立すること。
• ゼロサム最適停止ゲームから生じる2つの移動境界で反射する拡散過程として最適制御を特徴づけること。
• 非線形ボルテラ積分方程式の系を解く連続的で有界かつ単調な自由境界を通じて、最適戦略の半明示的表現を提供すること。
• ゼロサム最適停止ゲームにおける時間に依存する自由境界の確率的枠組みを構築し、従来の理論を標準的最適停止の枠を超えて拡張すること。

提案手法

• 投資問題を有限時間ホライズンにおける有界変動制御問題として定式化し、投資および解体に比例コストを組み込む。
• 制御問題を、最適な参入および退出意思決定を表す2つの停止時刻を含むゼロサム最適停止ゲーム（ZSOSG）に再定式化する。
• 2つの移動境界（連続的で有界かつ単調）を特徴づける自由境界問題を通じてZSOSGの価値関数を導出する。
• 自由境界を、第二種非線形ボルテラ積分方程式の系の解として特徴づける。
• 伊藤＝マイヤーの公式およびダンキンの公式を含む確率的技法を用いて、価値関数を分析し、サドル点の性質を検証する。
• スコロホドの反射原理を適用し、最適制御が2つの移動境界で反射する拡散過程に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 容量拡大と縮小に非対称なコストが存在する有限時間ホライズンの確率的モデルにおいて、最適投資・解体戦略はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 関連するゼロサム最適停止ゲームにおける自由境界の構造は何か？ また、時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ3 最適制御は反射拡散過程として表現可能か？ もしそうなら、境界に課される条件は何か？
• RQ4 移動境界は非線形ボルテラ積分方程式の系の解とどのように関係するか？
• RQ5 走行利益関数と終端利益が最適制御方策に与える影響は何か？

主な発見

• 最適投資・解体戦略が、2つの連続的で有界かつ単調な移動境界で反射する拡散過程であることが示された。
• 2つの自由境界が、第二種非線形ボルテラ積分方程式の系の唯一の解として特徴づけられた。
• 関連するゼロサム最適停止ゲームの価値関数が、これらの移動境界を持つ自由境界問題の唯一の解であることが証明された。
• 最適制御戦略がZSOSGにおけるサドル点であることが示され、価値関数が動的計画法の原理を満たすことが確認された。
• 利益関数およびコスト関数に一般な条件が課された下で、最適制御ペア（ν⁺, ν⁻）の存在と一意性が確立された。
• 境界曲線が有限時間ホライズン上で連続的かつ有界であることから、最適戦略の半明示的表現が提供された。