[論文レビュー] A Stochastic Target Problem for Branching Diffusions

Idris Kharroubi, Antonio Ocello|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2022

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての粒子が制御された分岐拡散過程で終端ターゲット集合に確率1で到達するように保証する最小の初期条件を特定することを目的とした確率的ターゲット問題を定式化し、解明する。動的計画法の原則と、各粒子ラベルにおける値関数の点集合的上限としての値関数表現を特徴とする新規な分岐性質を用いることで、値関数がハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン変分不等式の唯一の粘性解であることが確立され、暗号資産デリバティブ市場におけるスーパー複製の理論的基盤が提供される。

ABSTRACT

We consider an optimal stochastic target problem for branching diffusion processes. This problem consists in finding the minimal condition for which a control allows the underlying branching process to reach a target set at a finite terminal time for each of its branches. This problem is motivated by an example from fintech where we look for the super-replication price of options on blockchain based cryptocurrencies. We first state a dynamic programming principle for the value function of the stochastic target problem. We then show that the value function can be reduced to a new function with a finite dimensional argument by a so called branching property. Under wide conditions, this last function is shown to be the unique viscosity solution to an HJB variational inequality.

研究の動機と目的

• 制御された分岐拡散過程における最適な確率的ターゲット問題のモデル化と解法。
• すべての粒子が終端時刻にターゲット集合に確率1で到達するように保証する最小初期条件の特徴付け。
• 粒子間の非マルコフ的依存関係を有する分岐過程に適用可能な動的計画法フレームワークの開発。
• 積ではなく点集合的上限を含む新規な分岐性質に基づく、値関数の粘性解による特徴付け。
• プロトコルレベルのメカニズムから生じる分岐ダイナミクスを有するブロックチェーンベースの暗号資産オプションにおけるスーパー複製問題の理論的解法の提供。

提案手法

• 制御過程の分布に関する可測選択定理と条件付き期待の議論を用いて、値関数に対する動的計画法の原則（DPP）を導出。
• 各粒子の初期位置における最適値の点集合的上限として、与えられた初期状態における値関数を表現する新規な分岐性質を導入。
• 無限次元の値関数を粒子ラベルでインデックス付けされた有限次元の対象に還元し、粘性解による解析を可能にする。
• 値関数が2階非線形作用素とラベル別単調性制約の2成分を有するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）変分不等式の唯一の粘性解であることを確立。
• 滑らかさの近似に依存しない、制御された martingale 問題と正規条件付き確率測度に基づく確率的アプローチを用いる。
• 確率的制御およびPDE理論の結果を応用し、古典的分岐PDEに見られる多項式項が欠如する非標準的な構造を持つPDEとして値関数を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御された分岐拡散過程がすべての粒子について終端時刻にターゲット集合に確率1で到達するための最小初期条件は何か？
• RQ2 粒子の動的依存関係を有する分岐拡散過程における確率的ターゲット問題に対して、動的計画法の原則をどのように確立できるか？
• RQ3 値関数が粒子ラベルの積ではなく点集合的上限に依存する場合、古典的分岐性質の正しい一般化は何か？
• RQ4 標準的な滑らかさ仮定が粒子ラベルの上限作用素に起因する不規則性により破綻する場合、値関数をPDEの粘性解としてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 このフレームワークは、資産生成が分岐過程に類似するブロックチェーンベースの暗号資産オプションのスーパー複製問題を解くために適用可能か？

主な発見

• 値関数は滑らかさの近似に依存せず、可測選択と確率的条件付き期待の議論に基づく動的計画法の原則を満たすことが示された。
• 新規な分岐性質が確立され、値関数が各粒子の初期位置における値関数の点集合的上限として表現され、古典的分岐過程における積とは異なっている。
• 値関数が2階非線形作用素とラベル別単調性制約の2成分を有するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）変分不等式の唯一の粘性解であることが証明された。
• 粘性解の枠組みがラベル依存構造と上限作用素に起因する不規則性に対処できるように適応された。
• 本手法は、分岐ダイナミクスを有する暗号資産デリバティブを含むファイントエック分野におけるスーパー複製価格設定の厳密な数学的基盤を提供する。
• 近似PDEの正則解に依存するのではなく、確率的議論と条件付き期待の技術に依拠する。