[論文レビュー] A Straightening Theorem for non-Autonomous Iteration

Mark Comerford|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非定常な多項式反復への古典的Douady-Hubbardの直線化定理を一般化する。多項式的写像の列を導入し、有界な多項式列とそのハイブリッド同値性を証明する。点付き領域におけるCarathéodory位相と双曲的計量による歪み推定を用いて、擬似コンformal歪みの上限を保つ直線化定理を確立する。これにより、一様に有界な次数と係数を持つ非定常系は、特定の位相的・解析的制約のもとで多項式列に共役可能であることが示される。

ABSTRACT

The classical straightening theorem as proved by Douady and Hubbard shows that a polynomial-like sequence is hybrid equivalent to a polynomial. We generalize this result to non-autonomous iteration where one considers composition sequences arising from a varying sequence of functions. In order to do this, new techniques are required to control the distortion and quasiconformal dilatation of the hybrid equivalence. In particular, the Caratheodory topology for pointed domains allows us to specify the appropriate bounds on the sequence of sets on which the polynomial-like mapping sequence is defined and give us good estimates on the degree of distortion and quasiconformality.

研究の動機と目的

• 多項式的写像の古典的直線化定理を、変化する写像列を許容する非定常反復へ拡張すること。
• 変化する写像を伴う非定常系における擬似コンフォーマル歪みと歪みを制御する課題に対処すること。
• 一様な次数と係数の上限のもとで、多項式的写像の列と有界な多項式列とのハイブリッド同値性を確立すること。
• 点付き領域におけるCarathéodory位相を用いた位相的枠組みを構築し、極限における領域の安定性と収束を保証すること。

提案手法

• 非定常反復への古典的多項式的写像の一般化として、多項式的写像の列の概念を導入する。
• 点付き領域におけるCarathéodory位相を用いて、収束を制御し、極限における連結性とコンフォーマル構造を保つ。
• 特に補題2.1を用いて、双曲的計量による歪み推定を適用し、p価写像における双曲的円板の収縮を制限する。
• 次数（≤d）、先頭係数の絶対値（≥1/K かつ <K）、および低次の係数（≤M）について一様な上限を満たす有界な多項式列を定義する。
• 有界性を用いて歪みを制御する擬似コンフォーマル写像によるハイブリッド同値を構築し、動的性質を擬似コンフォーマル歪みの範囲で保存する。
• Hausdorff位相における収束定理と双曲的力学の結果を活用し、一様極限のもとで反復ジュリア集合が収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変化する写像列を伴う非定常反復に対して、多項式的写像の古典的直線化定理を拡張することは可能か？
• RQ2 非定常な多項式的写像の列が多項式列とハイブリッド同値であるための位相的・解析的条件は何か？
• RQ3 変化する写像を伴う非定常系において、擬似コンフォーマル歪みと歪みをどのように制御できるか？
• RQ4 Hausdorff位相における反復ジュリア集合の収束は、ハイブリッド同値のもとで動的同値性を示唆するか？
• RQ5 連結でないジュリア集合を持つ非定常な列で、任意の定数多項式（連結でないジュリア集合をもつ）とハイブリッド同値でないものは存在するか？

主な発見

• 次数がdで一様に有界で、係数の絶対値が一様に有界（|a_{d_m,m}| ≥ 1/K, |a_{k,m}| ≤ M）である有界な多項式列は、d, K, Mにのみ依存する明確に定義された脱出半径Rを有する。
• 反復されたファトウ集合とジュリア集合は合成写像Q_{m,n}に関して完全不変であり、空集合K_mは無限遠点の吸引域A_{∞,m}の補集合である。
• 一様に双曲的である限り、有界な列の反復ジュリア集合J_mはHausdorff位相で極限列のジュリア集合に収束する。
• すべての臨界点が脱出する有界な二次多項式列で、ジュリア集合が完全に不連結であるが、任意の定数二次多項式（不連結なジュリア集合をもつ）とハイブリッド同値でないものが存在する。
• このような場合のハイブリッド同値の失敗は、双同値連続性の破綻に起因する：非定常系において距離が∼2^{-j}で分離された点は、任意の候補共役写像のもとで距離がδ以上に分離されるが、j→∞の極限でこれは不可能になる。
• 点付き領域におけるCarathéodory位相の使用により、極限における領域の連結性とコンフォーマル構造が保たれ、直線化プロセスにおける擬似コンフォーマル歪みの制御が可能になる。