[論文レビュー] A stratification of the moduli space of vector bundles on curves

L. Brambila‐Paz, Herbert Lange|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな射影的曲線上の安定なベクトル束のモジュライ空間の階層化を、$ s_k(E) = k\cdot \deg E - r\cdot \max \deg F $ という不変量を用いて定義する。ここで $ F $ はランク $ k $ の部分束を走る。$ g \geq \frac{r+1}{2} $ のとき、$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の層が空でなく、その次元を明示的に計算している。その次元は $ s $ が $ k(r-k)(g-1) $ より小さいか大きい場合で異なることが示されている。

ABSTRACT

Let $E$ be a vector bundle of rank $r\geq 2$ on a smooth projective curve $C$ of genus $g \geq 2$ over an algebraically closed field $K$ of arbitrary characteristic. For any integer with $1\le k\le r-1$ we define $${\se}_k(E):=k°E-r\max°F.$$ where the maximum is taken over all subbundles $F$ of rank $k$ of $E$. The ${s}_k$ gives a stratification of the moduli space ${\cal M}(r,d)$ of stable vector bundles of rank $r$ and degree on $d$ on $C$ into locally closed subsets ${\calM}(r,d,k,s)$ according to the value of $s$ and $k$. There is a component ${\cal M}^0(r,d,k,s)$ of ${\cal M}(r,d,k,s)$ distinguish by the fact that a general $E\in {\cal M}^0(r,d,k,s)$ admits a stable subbundle $F$ such that $E/F$ is also stable. We prove: {\it For $g\ge \frac{r+1}{2}$ and $0

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線（$ g \geq 2 $）上の安定ベクトル束のモジュライ空間 $ \mathcal{M}(r,d) $ の構造を理解すること。
• 部分束の次数の最大性を測る不変量 $ s_k(E) $ を用いた、$ \mathcal{M}(r,d) $ の新しい階層化を定義し、その解析を行うこと。
• $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の非空性と次元を特定すること。ここで一般のバンドルは安定な部分束を持ち、商が安定である。
• $ s $ が $ k(r-k)(g-1) $ と比較して小さいか大きい場合に応じて、これらの層の正確な次元公式を確立すること。

提案手法

• $ s_k(E) = k \cdot \deg E - r \cdot \max \deg F $ を定義する。ここで $ F $ は $ E $ のすべてのランク $ k $ の部分束を走る。
• 不変量 $ s_k(E) $ を用いて、$ \mathcal{M}(r,d) $ を局所閉部分集合 $ \mathcal{M}(r,d,k,s) $ に階層化する。
• 開成分 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ に注目する。これは、ランク $ k $ の安定部分束 $ F $ を持ち、商 $ E/F $ も安定であるようなバンドル $ E $ からなる。
• 代数幾何学およびベクトル束論の技法を用いる。特に、任意の特性の代数閉体上で有効である。
• 次元論と安定性条件を用いて、$ s < k(r-k)(g-1) $ および $ s \geq k(r-k)(g-1) $ の2つの場合に、$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の次元を計算する。
• バンドルのランクと次数、および曲線の genus $ g $ を用いて、次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の層がモジュライ空間 $ \mathcal{M}(r,d) $ で非空となる $ s $ の値は何か？
• RQ2 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の次元は何か？ そして、$ s $ が $ k(r-k)(g-1) $ と比較して小さいか大きい場合にどのように依存するか？
• RQ3 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の一般のバンドルが、安定な部分束と安定な商を持つための条件は何か？
• RQ4 不変量 $ s_k(E) $ は、曲線上のベクトル束のモジュライ空間の幾何的構造をどのように捉えているか？

主な発見

• $ g \geq \frac{r+1}{2} $ かつ $ 0 < s \leq k(r-k)(g-1) + (r+1) $ のとき、層 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ は非空である。
• $ s < k(r-k)(g-1) $ のとき、$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の次元は $ (r^2 + k^2 - rk)(g-1) + s - 1 $ に等しい。
• $ s \geq k(r-k)(g-1) $ のとき、$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ の次元は $ r^2(g-1) + 1 $ に等しい。
• $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ は、ランク $ k $ の安定部分束 $ F $ が存在し、$ E/F $ も安定であるという性質によって特徴づけられる。
• 不変量 $ s_k(E) $ は、$ k $ と $ s $ をインデックスとする局所閉部分集合に $ \mathcal{M}(r,d) $ を適切に階層化する。
• 次元公式は、$ s \equiv kd \mod r $ を満たす条件のもとで有効であり、不変量の整数性を保証する。