[論文レビュー] A Stratified Approach to Löb Induction

Daniel Gratzer, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マルティン・ローフ型理論に累積的ユニバースをモデル化し、合成Tait計算可能性を可能にするために重要な条件であるリアルイグメント性を満たすグローテンディークトポスにおいて、累積的ユニバースの階層的構成を提示する。小さな対象の手続きを適応し、降下理論を活用することで、集合の圏から任意のグローテンディークトポスへと、整合性を保った良い性質を持つユニバース階層を引き上げる。これにより、すべてのユニバースレベルで整合性が保たれ、型理論の直接的な解釈がすべてのこのようなトポスで可能になる。

ABSTRACT

Guarded type theory extends type theory with a handful of modalities and constants to encode productive recursion. While these theories have seen widespread use, the metatheory of guarded type theories, particularly guarded dependent type theories remains underdeveloped. We show that integrating Löb induction is the key obstruction to unifying guarded recursion and dependence in a well-behaved type theory and prove a no-go theorem sharply bounding such type theories. Based on these results, we introduce GuTT: a stratified guarded type theory. GuTT is properly two type theories, sGuTT and dGuTT. The former contains only propositional rules governing Löb induction but enjoys decidable type-checking while the latter extends the former with definitional equalities. Accordingly, dGuTT does not have decidable type-checking. We prove, however, a novel guarded canonicity theorem for dGuTT, showing that programs in dGuTT can be run. These two type theories work in concert, with users writing programs in sGuTT and running them in dGuTT.

研究の動機と目的

• 累積的ユニバースを備えたマルティン・ローフ型理論と合成メタ理論の両者にとって不可欠なリアルイグメント性を保つために、シャーフィケーションが失敗する問題を解決すること。
• ホフマンとストライヒャーのプレシアーフユニバース構成を、累積性とリアルイグメント性を保ちながら、すべてのグローテンディークトポスへと拡張すること。
• 任意のグローテンディークトポスにおいて、累積的ユニバースを備えたマルティン・ローフ型理論の直接的解釈を提供すること。
• 特にアーティンのグリーディングとTait計算可能性を含む合成的手法の応用を、すべてのグローテンディークトポスで可能にすること。
• 構成的バージョンの構成の基盤を築くこと。ただし、これは未解決のままである。

提案手法

• κ-コンパクト性とリアルイグメント問題の飽和性に基づく、シュルマンのユニバース構成を変形した小さな対象の手続きを採用する。
• グローテンディークトポスにおける降下理論を用いて、ユニバース構造がトポス全体に整合的に引き上げられることを保証する。
• 閉じた部分トポス j: F → G に対する随伴 j! ⊣ j* を用いて、射のカルテジアンリフトを構成し、リアルイグメント性を保証する。
• フロベニウスの再帰性と初期対象の厳密性を用いて、重要な図式（例：図47）がカルテジアンであることを検証する。
• 内部プレシアーフ構成とグリーディング技術を組み合わせることで、ユニバースの一般族を構成する。
• 図式的および随伴的推論を用いて、得られたユニバースがすべての公理（U1–U8）を満たし、特に重要なリアルイグメント条件（U8）を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のグローテンディークトポスにおいて、リアルイグメント性（U8）を満たす累積的ユニバース階層を構成できるか、すなわちシャーフィケーション後でも成立するか？
• RQ2 標準的なシャーフィケーションを用いる場合、シェーフトポスにおいて、ユニバース理論と合成Tait計算可能性に不可欠なリアルイグメント性は生存するか？
• RQ3 グローテンディークトポスにおけるユニバース構成を、すべてのユニバースレベルで完全に整合的かつ累積的であるようにできるか？
• RQ4 選択公理や古典論理に依存しない構成的バージョンのユニバース構成は存在するか？
• RQ5 選択公理を用いずに、トポス内のすべてのモノモルフィズムに対してリアルイグメント性を一様に引き上げることは可能か？

主な発見

• 任意のグローテンディークトポスにおいて、階層的な小さな対象の手続きを用いて、リアルイグメント性（U8）を満たす累積的ユニバース階層が構成された。
• この構成により、ユニバースはすべての公理（U1–U8）を満たし、特にシェーフトポスにおいても重要なリアルイグメント条件が保たれる。
• 任意の閉じた部分トポス j: F → G に対して、j* によるベースチェンジによってリアルイグメント性が保たれ、図47を用いて失敗したリフトの修復が可能になる。
• この方法により、マルティン・ローフ型理論に累積的ユニバースを備えたホフマン＝ストライヒャーの解釈が、すべてのグローテンディークトポスへと拡張された。
• j* によるコードの厳密な保存性を保証することで、合成Tait計算可能性および立方体型理論の意味論への応用が可能になる。
• 構成的バージョンの構成は未解決のままであるが、選択公理が存在しない状況下で、決定的モノモルフィズムについて（U8）が成立することを著者らが示している。