[論文レビュー] A strengthening of the Nyman-Beurling criterion for the Riemann hypothesis, 2

Luis Báez‐Duarte|ArXiv.org|May 1, 2002

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、リーマン予想を仮定することで、リーマン予想に対するニム・ヴェルリング基準を強化し、区間 $ (0,1] $ の特性関数 $ \chi $ が自然数 $ a \in \mathbb{N} $ に対して生成される部分空間 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ の閉包に属することを証明する。さらに、定量的な誤差推定を確立し、$ \chi $ とモリフィード和 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \log a / \log \log n} \rho_a $ の距離が $ \ll (\log \log n)^{-1/3} $ であることを示し、$ L^2(0,\infty) $ における近似の明確な収束速度を提供する。

ABSTRACT

Let $ρ(x)=x-[x]$, $χ=χ_{(0,1)}$. In $L_2(0,\infty)$ consider the subspace $\B$ generated by $\{ρ_a|a\geq1\}$ where $ρ_a(x):=ρ(\frac{1}{ax})$. By the Nyman-Beurling criterion the Riemann hypothesis is equivalent to the statement $χ\in\bar{\B}$. For some time it has been conjectured, and proved in the first version of this paper, posted in arXiv:math.NT/0202141 v2, that the Riemann hypothesis is equivalent to the stronger statement that $χ\in\bar{\Bnat}$ where $\Bnat$ is the much smaller subspace generated by $\{ρ_a|a\in\Nat\}$. This second version differs from the first in showing that under the Riemann hypothesis for some constant $c>0$ the distance between $χ$ and $-\sum_{a=1}^nμ(a)e^{-c\frac{\log a}{\log\log n}}ρ_a$ is of order $(\log\log n)^{-1/3}$.

研究の動機と目的

• 自然数パラメータによって生成される部分空間 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ を用いて、古典的なベウルンクス部分空間 $ \mathcal{B} $ の代わりに、リーマン予想に対するニム・ヴェルリング基準のより強い形を確立すること。
• リーマン予想を仮定した下で、特性関数 $ \chi $ が $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ の元によってどのように近似できるかを定量的に推定すること。
• 古典的な近似 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ が $ L^2 $ で発散するという問題を、指数的重み $ e^{-c \log a / \log \log n} $ を用いたモリフィード化によって解決すること。
• フーリエ・メリン変換とプランシュレルの定理を用いて、近似誤差の $ L^2 $ ノルムを分析すること。
• 収束速度をゼータ関数の零点分布とムービウス関数の成長と結びつけるために、バラザール＝サイアスおよびブルノールの推定を用いること。

提案手法

• 関数 $ f_{\epsilon,n}(x) = \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^\epsilon} \rho_a(x) $ を定義し、$ \rho_a(x) = \rho(1/(ax)) $ として、フーリエ・メリン変換を用いてその $ L^2 $ ノルムを分析する。
• プランシュレルの定理を適用し、$ f_{\epsilon,n} + \chi $ の $ L^2 $ ノルムを、臨界線 $ \Re(z) = 1/2 $ 上の積分として表現し、$ \left| \zeta(z) \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} - 1 \right|^2 $ を含む形にする。
• バラザール＝サイアスの補題を用いて、部分和 $ \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} $ を推定し、リーマン予想のもとで $ 1/\zeta(z+\epsilon) $ に $ O(n^{-\epsilon/3}) $ の誤差で近似できることを示す。
• 関数等式とガンマ関数の漸近挙動を用いて、臨界線上での比 $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| $ を推定し、リーマン予想のもとで $ \ll |z|^{\epsilon/2} $ を得る。
• 積分をゼータ関数の零点の近傍とそれ以外の領域に分割し、古典的な零点密度推定とブルノールの評価 $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| \ll |z|^{\epsilon/2} $ を用い、誤差を最適化するため $ \epsilon = c / \log \log n $ を選ぶ。
• 両方の積分からの誤差評価を組み合わせ、最終的な推定 $ \| f_{\epsilon,n} + \chi \|_{\mathcal{H}}^2 \ll n^{-2\epsilon/3} + \epsilon^{2/3} $ を得る。その後 $ \epsilon = c / \log \log n $ を代入し、$ (\log \log n)^{-1/3} $ の減衰を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想は、区間 $ (0,1] $ の特性関数 $ \chi $ が自然数 $ a \in \mathbb{N} $ に対して生成される部分空間 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ の閉包に属することと同値であるか？ これは、完全な $ \mathcal{B} $ の代わりに $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ を用いることによる強化である。
• RQ2 リーマン予想を仮定した下で、$ \chi $ が $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ の元によって近似される最良の収束速度は何か？
• RQ3 モリフィード和 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \frac{\log a}{\log \log n}} \rho_a $ は $ L^2(0,\infty) $ において $ \chi $ とどの程度近いか？ そして、正確な誤差境界は何か？
• RQ4 $ L^2 $ で発散する古典的近似 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ は、適切な総和法によって回復可能か？
• RQ5 重み付き和 $ f_{\epsilon,n} $ の $ \epsilon = c / \log \log n $ の選択は、$ \chi $ への収束速度をほぼ最適化するか？ また、これはゼータ関数の零点自由領域とどのように関係するか？

主な発見

• リーマン予想は、$ \chi \in \overline{\mathcal{B}^{\text{nat}}} $ と同値であり、ここで $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ は $ \{ \rho_a \mid a \in \mathbb{N} \} $ の閉じた線形包である。これは古典的なニム・ヴェルリング基準を強化するものである。
• リーマン予想のもとで、$ \chi $ とモリフィード和 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \frac{\log a}{\log \log n}} \rho_a $ の間の $ L^2(0,\infty) $ 距離は $ \ll (\log \log n)^{-1/3} $ で抑えられ、明確な近似速度が得られる。
• 収束速度 $ (\log \log n)^{-1/3} $ は、$ \sum \mu(a)/a^{s} $ の部分和近似誤差と、比 $ \zeta(z)/\zeta(z+\epsilon) $ の誤差の両方のバランスを取ることで得られ、最適な $ \epsilon = c / \log \log n $ の選択が鍵である。
• バラザール＝サイアスの補題は、$ \Re(z) = 1/2 $ に対して $ \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} = \frac{1}{\zeta(z+\epsilon)} + O(n^{-\epsilon/3} e^{b \mathcal{L}(t)}) $ と推定でき、$ n^{-2\epsilon/3} $ の誤差項の根拠となる。
• ブルノールによる別解の評価 $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| \ll |z|^{\epsilon/2} $ が、臨界線上でのゼータ関数比の制御に用いられ、零点付近の誤差解析を可能にする。
• この結果は、$ L^2 $ で発散する古典的近似 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ が指数的モリフィケーションによって安定化可能であり、リーマン予想のもとで非自明な収束速度が得られることを示唆している。