[論文レビュー] A strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky's 2-category {\bf 2Vect}

Josep Elgueta|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、KapranovとVoevodskyの2カテゴリ 2Vect の完全に厳密で計算的に明示的なバージョンである、厳密かつ完全に座標化された2カテゴリ ${\bf 2SVect}_{cc}$ を構築する。非厳密性を解消するために、対象レベルでのスケルティズィングのみを実施し、1準同型および2準同型の合成における結合則の回復のためにゲージ変換を導入する。水平合成および垂直合成の明示的公式は、テンソル積と置換行列を用いて与えられる。

ABSTRACT

We give a concrete description of a strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky's 2-category of finite dimensional 2-vector spaces. In particular, we give explicit formulas for composition of 1-morphisms and the two compositions between 2-morphisms

研究の動機と目的

• KapranovとVoevodskyの ${\bf 2Vect}_{cc}$ における非厳密性、特に2準同型の水平合成が結合的でない点を解消すること。
• 完全に厳密な2カテゴリ版の2Vectを構築し、完全な座標化を維持するとともに、明示的な計算に適した形にすること。
• 圏的線型代数および高次元代数的構造のための具体的で扱いやすい枠組みを提供すること。
• 高次表現論、トポロジカル量子場理論、4多様体の不変量への応用を可能にすること。

提案手法

• 対象が自然数である新しい2カテゴリ ${\bf 2SVect}_{cc}$ を導入。1準同型はランク行列 ${{\bf R}}$ とゲージ変換 $s$ のペア $({\bf R}, s)$ で表され、$s$ は各成分に行列を割り当てる。
• 2準同型の垂直合成を成分ごとの行列積として定義し、空行列および零行列の取り扱いを一貫性を持って行う。
• 2準同型の水平合成をテンソル積と置換行列 ${{\bf P}}(\widetilde{{\bf R}}_k, {{\bf R}}, {\bf a})$ を用いて定義し、厳密な結合性を保証する。
• 1準同型の合成に $(\widetilde{{\bf R}},\widetilde{s}) \circ ({\bf R},s) = (\widetilde{{\bf R}}{\bf R}, \widetilde{s} \ast s)$ を用い、ここで $\widetilde{s} \ast s$ はテンソル積と逆行列を含む。
• 置換行列の正規化条件を導入し、合成式の整合性を維持する。
• 恒等1準同型は $(Id_n, 1)$、恒等2準同型は非空成分に単位行列を持つ行列として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\bf 2Vect}_{cc}$ とは異なり、1準同型および2準同型の両方の合成において厳密に結合的である完全に座標化された2カテゴリを構築できるか？
• RQ2 座標化を失うことなく、ゲージ変換を体系的に導入することで、2準同型の合成における厳密な結合性を回復できるか？
• RQ3 このような厳密な2カテゴリにおいて、2準同型の水平および垂直合成を記述する明示的公式は何か？
• RQ4 この厳密な枠組みにおいて、逆元性および2同型条件はどのように現れるか？
• RQ5 この構成は、圏的線型代数および2表現上のモノイダル構造の基礎として機能できるか？

主な発見

• ${\bf 2SVect}_{cc}$ は1準同型および2準同型の両方の合成において厳密に結合的であり、${\bf 2Vect}_{cc}$ の非厳密性を解消した。
• 2準同型の水平合成は明示的に $(\widetilde{{\sf T}} \circ {\sf T})_{kj} = \widetilde{s}^\prime_k({\bf R}^\prime({\bf e}_j)) \left( \bigoplus_{i=1}^m \widetilde{{\sf T}}_{ki} \otimes {\sf T}_{ij} \right) \widetilde{s}_k({\bf R}({\bf e}_j))^{-1}$ で与えられ、整合性を保つために置換行列が組み込まれている。
• 2準同型の垂直合成は成分ごとの行列積で与えられる：$({\sf T}^\prime \cdot {\sf T})_{ij} = {\sf T}^\prime_{ij} {\sf T}_{ij}$ であり、空行列および零行列の取り扱いが適切に行われている。
• 恒等1準同型は $({\rm Id}_n, 1)$、恒等2準同型は $R_{ij} \neq 0$ のとき $({\bf 1}_{({\bf R},s)})_{ij} = {\rm Id}_{R_{ij}}$、さもなければ空行列である。
• 1準同型 $({\bf R}, s)$ が可逆であるための必要十分条件は $n = m$ かつ ${{\bf R}}$ が置換行列であること。
• 2準同型が2同型であるための必要十分条件は、両者のランク行列 ${{\bf R}}$ が同一であることであり、2準同型が2同型であるための必要十分条件は、すべての非空成分が可逆行列であること。