[論文レビュー] A strictly stationary, "causal," 5-tuplewise independent counterexample to the central limit theorem

Richard C. Bradley|ArXiv.org|Nov 15, 2009

Probability and Risk Models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、±1値をとる確率変数の厳密に定 stationa ry な 5 重独立な列を構成し、因果的であり、二重尾 σ-代数が自明であるが、正規分布への正規化された部分和の収束が成立しない。これは、5 重独立性の下で、有限状態かつ因果的な中心極限定理の反例を初めて提示する。構成法では、i.i.d. のノイズ関数を用いて必要な従属構造と混合性を保証するとともに、いかなる正規化に対しても CLT を破る。

ABSTRACT

A strictly stationary sequence of random variables is constructed with the following properties: (i) the random variables take the values -1 and +1 with probability 1/2 each, (ii) every five of the random variables are independent, (iii) the sequence is "causal" in a certain sense, (iv) the sequence has a trivial double tail sigma-field, and (v) regardless of the normalization used, the partial sums do not converge to a (nondegenerate) normal law. The example has some features in common with a recent construction (for an arbitrary fixed positive integer N), by Alexander Pruss and the author, of a strictly stationary N-tuplewise independent counterexample to the central limit theorem.

研究の動機と目的

• 5 重独立性の下で、厳密に定 stationa ry かつ有限状態で、因果的であるが中心極限定理を満たさない反例が存在するかという未解決問題を解消すること。
• 任意の正規化においても CLT に失敗するが、5 重独立性を満たす列を構成すること。
• 列が因果的（マルコフ的）であり、二重尾 σ-代数が自明であるように保証することで、構造的・確率論的明確性を高めること。
• 従来の N 重独立性反例の結果を拡張し、因果性とベルヌーイ型の性質を組み込むこと。

提案手法

• i.i.d. のノイズ $\eta_k$ の関数として定義される可測関数 $f(\eta_k, \eta_{k-1}, \dots)$ により、列 $X_k$ を定義し、因果性と定 stationarity を確保する。
• 有限状態のマルコフ連鎖を用いた再帰的構成により、5 重独立性を満たすが、同時独立性は満たさない構造を実現する。
• 因果構造における離れたブロック同士の漸近的独立性を活用し、二重尾 σ-代数が自明であることを保証する。
• 正規化された部分和の6次の絶対モーメントが、正規分布の極限（15）から一様に離れているように列を構成し、CLT の破綻を示す。
• 組合せ論的および測度論的議論により、列が厳密に定 stationa ry であり、すべての異なるインデックスの5組が独立であることを検証する。
• 遠く離れたブロック同士の独立性に依拠する補助過程 $X^*$ を用いたカップリング論法により、背理法で二重尾 σ-代数の自明性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に定 stationa ry かつ有限状態で、因果的であり、5 重独立であるが CLT に失敗する列を構成することは可能か？
• RQ2 5 重独立性があれば、いかなる正規化に対しても正規分布への収束が保証されるのか？
• RQ3 自明な二重尾 σ-代数と因果的構造を有するこのような反例を構成可能か？
• RQ4 N ≥ 6 の N 重独立性にこの構成を拡張する際、構造的障害は存在するか？
• RQ5 N ≥ 6 に対して、有限状態かつ因果的で N 重独立な CLT 反例が存在するか？

主な発見

• 構成された列は厳密に定 stationa ry であり、$\{-1, +1\}$ に等確率で値をとる。
• 列に含まれる任意の5つの異なる確率変数は互いに独立であるが、高階の依存性は存在する。
• 列は因果的である：各 $X_k$ は $\{\eta_j : j \leq k\}$ が生成する過去の σ-代数に対して可測であり、マルコフ的構造を有する。
• 二重尾 σ-代数は自明である。これは、すべての尾事象の確率が 0 または 1 であることを意味する。
• $S_n / \sqrt{n}$ の6次の絶対モーメントの上極限が 15 よりも厳密に小さいことから、正規分布の極限に収束しないことが示される。
• 無限部分集合 $T \subset \mathbb{N}$ が存在し、$S_n / \sqrt{n}$ が非退化で非正規の測度 $\mu$ に分布収束することを示し、CLT の失敗を証明する。