[論文レビュー] A strong direct product theorem for two-way public coin communication complexity

Rahul Jain|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、二方向公開コイン通信複雑性に対して強い直接積定理を確立するために、新たな複雑性測度である $\varepsilon$-誤り二方向条件付き相対エントロピー束縛（$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$）を導入した。この測度は二方向積サブ分布束縛を一般化し、集合の交わりなし問題に対してタイトな下界を与える。これにより、クラウックの強い直接積結果が再現され、一貫したより強い枠組みの下で先行研究が統合された。

ABSTRACT

We show a direct product result for two-way public coin communication complexity of all relations in terms of a new complexity measure that we define. Our new measure is a generalization to non-product distributions of the two-way product subdistribution bound of [J, Klauck and Nayak 08], thereby our result implying their direct product result in terms of the two-way product subdistribution bound. We show that our new complexity measure gives tight lower bound for the set-disjointness problem, as a result we reproduce strong direct product result for this problem, which was previously shown by [Klauck 00].

研究の動機と目的

• 二方向公開コイン通信複雑性に対して強い直接積定理を確立すること。
• 積分布でない分布に対しても一般化可能な、新たな複雑性測度を定義すること。
• 新しい測度が集合の交わりなし問題に対してタイトな下界を与えることを示すこと。
• 情報理論的枠組みを用いて、通信複雑性における先行の直接積結果を統一的かつ強化すること。

提案手法

• 関係のための新たな複雑性測度として、$\varepsilon$-誤り二方向条件付き相対エントロピー束縛（$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$）を導入する。
• $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ が二方向公開コイン通信複雑性 $\mathsf{R}^{2,\mathsf{pub}}_\varepsilon(f)$ を下から抑えることを証明する。
• $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ が二方向積サブ分布束縛を上から抑えることを示し、これにより先行の直接積結果が導かれる。
• 相対エントロピーの鎖則および jointly 凸性を用いて、入力ごとの条件付き分布とプロトコルの振る舞いを分析する。
• 集合の交わりなし問題に新しい測度を適用し、タイトな下界を与えることを示す。
• プロトコルと入力分布の構造的性質を活用して、成功確率を抑え、強い直接積定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された複雑性測度を用いて、二方向公開コイン通信複雑性に対して強い直接積定理を証明できるか？
• RQ2 新しい $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ 測度は、二方向積サブ分布束縛のような既存の測度よりもタイトまたはより一般化された下界を与えるか？
• RQ3 新しい測度は、集合の交わりなし問題のような既知の強い直接積結果を再現できるか？
• RQ4 $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ 測度は集合の交わりなし問題に対してタイトか？
• RQ5 新しい測度は、通信複雑性における先行の直接積結果をどのように統合または拡張するか？

主な発見

• 新しい複雑性測度 $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ は、二方向公開コイン通信複雑性 $\mathsf{R}^{2,\mathsf{pub}}_\varepsilon(f)$ を下から抑える。
• 測度 $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ は二方向積サブ分布束縛を一般化しており、これにより J.、Klauck、Nayak [JKN08] の直接積結果が導かれる。
• 集合の交わりなし問題において、$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$ はタイトな下界を与える。
• この論文は、新しい測度を用いてクラウックの集合の交わりなし問題における強い直接積結果を再現した。
• 解析により、$k$ 個の関係を並列に計算する際の成功確率が、定数倍の要因を除いて $(1 - \varepsilon)^k$ 以下であることが示され、この問題における強い直接積予想が裏付けられた。
• 証明は、条件付き確率を抑え、相対エントロピーと $\ell_1$ 距離の性質を用いて、入力間での誤差伝搬を制御することに依存している。