[論文レビュー] A strong hyperbolicity property of locally symmetric varieties

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有界対称領域の算術的局所的に対称な多様体のすべての部分多様体——特に算術的格子による商——が、格子が十分に小さい場合には一般型であることを確立する。ホッジ理論、対数コンパクト化、およびヴィエフェグのベクトルバンドルが大きいという概念を用いて、著者は部分多様体が最大の余接次元を持つことを証明し、この設定においてグリーン＝グリフィス＝ラング予想が予測する強い双曲的性質を確認する。特にシーゲルモジュラー多様体の場合には鋭い境界が得られる：$ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ のすべての部分多様体は $n > 12g$ のとき一般型である。

ABSTRACT

We show that all subvarieties of a quotient of a bounded symmetric domain by a sufficiently small arithmetic discrete group of automorphisms are of general type. This result corresponds through the Green-Griffiths-Lang's conjecture to a well-known result of Nadel.

研究の動機と目的

• 算術的局所的に対称な多様体の文脈においてグリーン＝グリフィス＝ラング予想に取り組み、それらの部分多様体が一般型であることを示す。
• ネーデルのコンパクト化された局所的に対称な多様体の特異点集合に関する結果を、すべての部分多様体の一般型性に関するより強い命題へと拡張する。
• すべての部分多様体が一般型であるようなレベル構造 $n$ の鋭い境界を確立する。具体的には $n > 12g$ の場合を想定する。
• 対数コンパクト化とヴィエフェグが大きい部分層を用いた一般枠組みを提供し、余接次元の最大化を証明する。
• トーリの定理を介して、自己同型多様体とレベル構造付きのアーベル多様体・曲線のモジュライ空間との関係を確立する。

提案手法

• 算術的局所的に対称な多様体の対数コンパクト化を用いて、$ otag cancel{ \mathbb{C} } $ からの正則写像の挙動を分析し、ネーデルの結果を拡張する。
• ヴィエフェグのベクトルバンドルが大きい理論を適用し、$ otag cancel{ S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E) } $ がヴィエフェグが大きい部分層を含むことを示し、これにより余接次元の最大化が得られる。
• 基本変換と有限被覆を用いて、基本多様体からその有限エタール被覆への性質の持ち上げを実行し、特に $ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ のレベル構造の文脈で有効に活用する。
• 自動形式ラインバンドルとホッジバンドルの標準的拡張を用いて、$ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ の幾何と対数正則バンドル $ otag cancel{ \omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D) } $ の関係を結ぶ。
• ウェイサウアーの $ otag cancel{ \mathcal{L}^{\otimes l}(-mD) } $ の切断の構成を応用し、$l > 12m$ のときラインバンドルが大きいことを示し、これにより鍵となる境界 $n > 12g$ を得る。
• ボレの代数化定理を用いて、解析的多様体から代数的多様体への結果の拡張を行い、任意の代数的多様体が対称空間に一般型性を保つように写像する場合に一般型性が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界対称領域の商 $ otag cancel{ \Gamma'\backslash\mathcal{D} } $ における、十分に小さい算術的格子 $ otag cancel{ \Gamma' } $ による商のすべての部分多様体は一般型であるか？
• RQ2 特にアーベル多様体のモジュライ空間にレベル構造を施した場合に、算術的局所的に対称な多様体においてグリーン＝グリフィス＝ラング予想は成立するか？
• RQ3 すべての部分多様体が一般型であるようなレベル $n$ の最適な境界は何か？
• RQ4 ホッジ理論的手法を用いて、算術的局所的に対称な多様体の部分多様体の余接次元が最大であることを確立できるか？
• RQ5 コンパクト化された局所的に対称な多様体の特異点集合は境界に完全に含まれるか？そして、この性質を用いてすべての部分多様体の一般型性を導けるか？

主な発見

• 有界対称領域 $ otag cancel{ \mathcal{D} } $ の有限指数算術的格子 $ otag cancel{ \Gamma' } $ による商 $ otag cancel{ \Gamma'\backslash\mathcal{D} } $ のすべての部分多様体は一般型である。
• レベル-$n$ 構造付きの主偏極付きアーベル多様体のモジュライ空間 $ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ において、すべての部分多様体は $n > 12g$ のとき一般型である。
• 正則バンドル $ otag cancel{ \omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D) } $ は $ otag cancel{ \mathcal{L}^{\otimes(g+1)} } $ に同型であり、これにより大きさの議論が可能になる。
• 適切な $l$ に対して、ベクトルバンドル $ otag cancel{ S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E) } $ はヴィエフェグが大きい部分層を含む。
• $n > 12g$ のとき、$ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ の部分多様体は最大の余接次元を持つ。これは、それらが一般型であることを示唆する。
• トーリの定理により、$ otag cancel{ \mathcal{A}_g(n) } $ における結果は、レベル構造付きの曲線のモジュライスタックに対しても同様に適用され、同じ境界のもとでその部分多様体が一般型であることが確認される。