[論文レビュー] A Strong Stability Preserving Analysis for Multistage Two-Derivative Time-Stepping Schemes Based on Taylor Series Conditions

Zachary J. Grant, Sigal Gottlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、前進オイラーおよびテイラー級数条件の下で空間離散化の強安定性特性を保つ、明適多段二階微分時間刻み手法である強安定性保持テイラー級数法（SSP-TS）を導入する。著者らは、このような手法の最大次数が6であることを証明し、それらを構築するための最適化手順を開発し、双曲型PDEに対してその効率性と鋭い時間刻み制限を実証した。

ABSTRACT

High order strong stability preserving (SSP) time discretizations are often needed to ensure the nonlinear (and sometimes non-inner-product) strong stability properties of spatial discretizations specially designed for the solution of hyperbolic PDEs. Multiderivative time-stepping methods have recently been increasingly used for evolving hyperbolic PDEs, and the strong stability properties of these methods are of interest. In our prior work we explored time discretizations that preserve the strong stability properties of spatial discretizations coupled with forward Euler and a second derivative formulation. However, many spatial discretizations do not satisfy strong stability properties when coupled with this second derivative formulation, but rather with a more natural Taylor series formulation. In this work we demonstrate sufficient conditions for an explicit two-derivative multistage method to preserve the strong stability properties of spatial discretizations in a forward Euler and Taylor series formulation. We call these strong stability preserving Taylor series (SSP-TS) methods. We also prove that the maximal order of SSP-TS methods is p = 6, and define an optimization procedure that allows us to find such SSP methods. Several types of these methods are presented and their efficiency compared. Finally, these methods are tested on several PDEs to demonstrate the benefit of SSP-TS methods, the need for the SSP property, and the sharpness of the SSP time-step in many cases.

研究の動機と目的

• 不連続性を有する双曲型PDEに適した空間離散化の強安定性特性を保つ時間刻みスキームの開発。
• 従来のSSP手法が二階微分形式に依存するという制限を克服し、より柔軟なテイラー級数に基づく安定性条件を導入すること。
• 前進オイラーおよびテイラー級数ベースの条件の両方において、強安定性保持の十分条件を確立すること。
• このようなSSP-TS手法の理論的最高次数が6であることを証明すること。
• 高次SSP-TS手法を構築するための最適化手順を設計し、その効率性を数値的に評価すること。

提案手法

• 前進オイラーおよびテイラー級数条件に基づき、SSP-TS手法と呼ばれる新しい明適多段二階微分時間刻みスキームのクラスを提唱する。
• 基本条件を定義する：前進オイラーにおける強安定性（$\|u^n + \Delta t F(u^n)\| \leq \|u^n\|$）および2次テイラー級数条件（$\|u^n + \Delta t F(u^n) + \frac{1}{2}\Delta t^2 \tilde{F}(u^n)\| \leq \|u^n\|$）。
• 両基本条件の下でSSP性を保証する多段二階微分手法の係数に関する十分条件を導出する。
• 導出された条件の下でSSP係数を最大化する最適化問題を定式化し、次数、段数、安定領域のバランスをとる。
• 次数2から6までの具体的なSSP-TS手法を構築し、8段および8段の導関数ステップを有する6次手法を含む。
• 5次WENO空間離散化を用いた双曲型保存則に、数値的に手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明適二階微分多段手法が、前進オイラーおよびテイラー級数条件の両方において強安定性を保つための十分条件は何か？
• RQ2 このようなSSP-TS手法の最大可能な次数は何か？
• RQ3 高次SSP-TS手法を、良好な安定性特性を有する形で構築するための最適化手順はどのように設計できるか？
• RQ4 双曲型PDEに対して、SSP-TS手法は既存のSSP手法と比較して、効率性および安定性において優れているか？
• RQ5 実際の応用において、SSP時間刻み制限はどの程度鋭いか？

主な発見

• SSP-TS手法の最大次数が $p = 6$ であることが証明され、このクラスのスキームの理論的上限が確立された。
• 8段および8段の導関数ステップを有する6次SSP-TS手法が構築され、新フレームワーク下での高次構築の可能性を示した。
• 6次手法のSSP係数は $\Delta t_{\text{SSP}} = 0.575 \Delta t_{\text{FE}}$ まで最適化され、低次手法と比較して顕著な時間刻み制限が示された。
• 双曲型PDE（例：Euler方程式およびスカラー保存則）に対する数値的検証により、SSP-TS手法が予測された時間刻み制限の下で強安定性特性を維持することが確認された。
• 多くの場合、SSP時間刻み制限は鋭いことが判明し、それを上回ると不安定化が生じた。これにより理論的分析の妥当性が裏付けられた。
• 提案されたSSP-TS手法は、テイラー級数に基づく安定性条件を満たす空間離散化に対して、次数および安定性の面で標準的SSPルンゲ＝クッタ法を上回ることが分かった。