[論文レビュー] A Strong Tits Alternative

Emmanuel Breuillard|ArXiv.org|Apr 9, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 30被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、線型群に対して強い一様ティーツ代替定理を確立する。任意の次元 $d$ に対して、整数 $N(d)$ が存在し、$GL_d(K)$ の有限対称生成集合 $F$ が非可換な部分群を生成するならば、$F^{N(d)}$ は非アーベル自由群を自由に生成する2つの元を含む。この結果は、高さ理論と有効なノイストレンゼンサツを用いた一様な算術的・幾何的議論により得られ、任意の体上の線型群における一様な成長および拡張に関する境界をもたらす。

ABSTRACT

We show that for every integer $d$, there is a constant $N(d)$ such that if $K$ is any field and $F$ is a finite subset of $GL_d(K)$, which generates a non amenable subgroup, then $F^{N(d)}$ contains two elements, which freely generate a non abelian free subgroup. This improves the original statement of the Tits alternative. It also implies a growth gap and a co-growth gap for non-amenable linear groups, and has consequences about the girth and uniform expansion of small sets in finite subgroups of $GL_d(\Bbb{F}_q)$ as well as other diophantine properties of non-discrete subgroups of Lie groups.

研究の動機と目的

• 体 $K$ や生成集合 $F$ に依存しない、次元 $d$ のみに依存する $N(d)$ を用いて、線型群のティーツ代替定理の一様版を確立すること。
• 従来の結果では境界が群 $\langle F\rangle$ に依存していたが、本稿では算術的段階で一様な高さ推定を導入することで、このギャップを解消すること。
• 有効な代数幾何学を用いて、線型群の指数的成長、縁長（girth）、有限線型群における一様な拡張性に関する定量的帰結を導出すること。
• 算術的および幾何的手法を統合し、アラケロフ高さと有効なノイストレンゼンサツを用いて、線型群のティーツ代替定理の証明における一様な境界を得ること。

提案手法

• 体 $K$ のすべての絶対値にわたる一様な固有値制御のため、算術的高さと正規化された高さ $\widehat{h}(F)$ を用い、一様なスペクトルギャップ $|\lambda| > 1 + \varepsilon$ を保証する。
• 文献[13]からの高さギャップ定理を応用し、群が近位元をもつ局所体が存在することを保証する。
• $v$-進距離を用いた近位性および横断性の均一な推定を用いて、射影空間 $\mathbb{P}(k^n)$ 上でピングポングペアを構成する。
• 随伴表現の $v$-進ノルムを用いて、不変部分空間とその直交補空間との距離を推定する。
• 有効なヒルベルトのノイストレンゼンサツを応用し、自由生成という代数的条件を一様な多項式イデアルの包含関係に翻訳する。
• 問題を代数的概形に還元する：$k$-組がほとんど可解な群を生成する集合は閉であり、$N(d)$-語ペアが自由群を生成しないような $k$-組の集合は、代数的条件の可算和である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ティーツ代替定理を、体 $K$ や生成集合 $F$ に依存しない、次元 $d$ のみに依存する語長 $N(d)$ で自由非アーベル部分群が現れることを保証するように強化できるか？
• RQ2 生成集合 $F$ が $GL_d(K)$ の非可換部分群を生成するならば、$F^{N(d)}$ が自由ペアを含むような、語長 $N(d)$ の一様な境界をどのように確立できるか？
• RQ3 有効な代数幾何学と高さ理論をどのように組み合わせ、任意の体上の線型群の文脈で一様な境界を導出できるか？
• RQ4 非可換線型群の成長指数は、生成集合に依存しない一様な下界で抑えられるか？
• RQ5 このような強いティーツ代替定理を用いて、有限線型群の縁長と拡張性を一様に制御できるか？

主な発見

• 任意の $d \in \mathbb{N}$ に対して、$N(d) \in \mathbb{N}$ が存在し、$F \subset GL_d(K)$ が1を含む有限対称集合で、非可換部分群を生成するならば、$F^{N(d)}$ は非アーベル自由群を自由に生成する2つの元を含む。
• このような群の成長指数は、$F$ や $K$ に依存しない $\varepsilon = \varepsilon(d) > 0$ を用いて $\rho_F \geq \log(1 + \varepsilon)$ を満たし、一様な指数的成長を示す。
• この結果は、共成長ギャップを示唆する：$F$ における長さ $n$ の簡約語の数は、$F$ や $K$ に一様に $ (1 + \varepsilon)^n $ 以上で増加する。
• 証明は、ノイストレンゼンサツにおける多項式の次数および高さの有効な境界をもたらし、リー型有限群における縁長と拡張性への応用を可能にする。
• $F^{N(d)}$ が自由ペアを含むという条件は、多項式イデアルの包含関係 $\mathcal{W}_n \subset \mathcal{V}$ に同値であり、ノイストレンゼンサツにより有効に扱える。
• この手法は、すべての局所体および特性0の体に対して一様に適用可能であり、算術的段階では高さ理論に依存し、幾何的段階では一様な近位性推定に依存する。