[論文レビュー] A strong uniform approximation of sub-fractional Brownian motion

Johanna Garzón, Luis G. Gorostiza+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、輸送過程を用いて、部分的分数ブラウン運動（sfBm）の強力な一様近似を確立し、従来の分数ブラウン運動（fBm）で得られたのと同じ収束速度を達成した。sfBmの確率積分表現を活用し、その成分に対して輸送過程を用いた強力近似技術を適用することで、著者らは確率的収束の速度 $ O(n^{-1/2}( ext{log} hinspace n)^{5/2}) $ を示した。これは、長-range依存性を示すガウス過程の計算手法を拡張するものである。

ABSTRACT

Sub-fractional Brownian motion is a process analogous to fractional Brownian motion but without stationary increments. In \cite{GGL1} we proved a strong uniform approximation with a rate of convergence for fractional Brownian motion by means of transport processes. In this paper we prove a similar type of approximation for sub-fractional Brownian motion.

研究の動機と目的

• 分数ブラウン運動の強力近似フレームワークを部分的分数ブラウン運動に拡張すること。
• 収束速度が明確に定量化されたsfBmの強力近似手法の欠如を解消すること。
• fBmにおけるそれらの使用と同様に、輸送過程をsfBmのシミュレーションに適したツールとして活用すること。
• fBmに関する先行研究と同一の収束速度を維持することで、計算効率を確保すること。

提案手法

• 実数直線上の両方向ブラウン運動を含む確率積分を用いて、部分的分数ブラウン運動を表現する。
• マンドルブロ・ヴァンネス表現を活用し、sfBmを分数ブラウン運動と剰余過程の和に分解する。
• 各成分（[0,T]、[a,0]、[1/a,0] におけるブラウン運動）に対して、強力輸送近似定理（定理1.1）を適用する。
• 各ブラウン運動セグメントに対して輸送過程を構築し、誤差バインディングを制御しながら確率的収束を保証する。
• ホルダー連続性とモーメント推定を用いて、剰余過程の近似誤差をバインディングする。
• 積分差と尾確率バインディングの精密な解析を通じて、最終的な近似速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輸送過程を用いて、収束速度が明確に定量化された部分的分数ブラウン運動の強力な一様近似が達成可能か？
• RQ2 同じ手法を用いた場合、部分的分数ブラウン運動の近似速度は、分数ブラウン運動のそれと一致するか？
• RQ3 sfBmに定常増分が存在しないという点を、輸送に基づく近似の文脈でどのように扱えるか？
• RQ4 fBmからsfBmへの輸送近似フレームワークを拡張するにあたり、どのような技術的修正が必要か？
• RQ5 fBmに用いられた同じ確率的ツールを、sfBmに対しても確率的収束を達成するために適応可能か？

主な発見

• 本稿では、収束速度 $ O(n^{-1/2}( ext{log}\,n)^{5/2}) $ を有する輸送過程による部分的分数ブラウン運動の強力な一様近似を確立した。これは、分数ブラウン運動のそれと同一である。
• 近似誤差は、任意の $ q > 0 $ に対して $ Pigl(igl| ext{sfBm}(t) - Z^{(n)}(t)igr| > Cn^{-1/2}( ext{log}\,n)^{5/2} \bigr) = o(n^{-q}) $ を満たし、確率的収束が保証される。
• 分解 $ S(t) = W(t) + Y(t) $（$ W $ はfBm、$ Y $ は剰余）により、成分のモジュラー近似が可能になる。
• 剰余過程 $ Y(t) $ は、積分差とホルダー連続性の精密な解析を通じて、適切に近似可能であることが示された。
• 証明は、カーネル関数の差異を含む確率積分のバインディングに依拠し、ブラウン運動の輸送による強力近似を活用している。
• 結果はすべての $ H \neq 1/2 $ に対して成り立ち、収束速度は $ a < 0 $、$ b > 0 $ であるコンパクト区間 $[a,b]$ で一様である。