[論文レビュー] A structural approach to kernels for ILPs: Treewidth and Total Unimodularity

Bart M. P. Jansen, Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Formal Methods in Verification被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、部分系における有界な幅（treewidth）および全単調性（total unimodularity）を活用することで、整数線形計画法（ILP）の可解性に対する構造的カーネル化手法を提案する。境界変数の数（変数数および定義域サイズの観点から）が小さいプロトリュージョン（protrusion）を有するILPインスタンスは、等価で多項式サイズの部分系に効率的に置き換え可能であり、このような構造が存在する場合には多項式カーネルが得られる。逆に、境界が大きい、または定義域が大きな変数を含む場合には、有効なカーネル化が不可能であることを示す下界も提示する。

ABSTRACT

Kernelization is a theoretical formalization of efficient preprocessing for NP-hard problems. Empirically, preprocessing is highly successful in practice, for example in state-of-the-art ILP-solvers like CPLEX. Motivated by this, previous work studied the existence of kernelizations for ILP related problems, e.g., for testing feasibility of Ax <= b. In contrast to the observed success of CPLEX, however, the results were largely negative. Intuitively, practical instances have far more useful structure than the worst-case instances used to prove these lower bounds. In the present paper, we study the effect that subsystems with (Gaifman graph of) bounded treewidth or totally unimodularity have on the kernelizability of the ILP feasibility problem. We show that, on the positive side, if these subsystems have a small number of variables on which they interact with the remaining instance, then we can efficiently replace them by smaller subsystems of size polynomial in the domain without changing feasibility. Thus, if large parts of an instance consist of such subsystems, then this yields a substantial size reduction. We complement this by proving that relaxations to the considered structures, e.g., larger boundaries of the subsystems, allow worst-case lower bounds against kernelization. Thus, these relaxed structures can be used to build instance families that cannot be efficiently reduced, by any approach.

研究の動機と目的

• 一般ILPインスタンスに対して理論的に否定的なカーネル化結果が得られている一方で、実務ではCPLEXなどにおいてILP前処理が成功しているというギャップを解消すること。
• 部分系に有界な幅（treewidth）や全単調性といった構造的性質が、効果的な前処理およびカーネル化を可能にするかを調査すること。
• このような部分系が、可解性を保持しつつサイズを縮小可能となる条件を同定すること。
• 緩い構造的仮定のもとで、正のカーネル化結果とそれに対応する下界を両方確立すること。

提案手法

• 変数が頂点、同じ制約に共通して現れる変数のペア間に辺を張るガフマングラフ（Gaifman graph）を用いて、ILPの制約行列をモデル化する。
• 外部のインスタンスと共有する境界変数が少ない（境界が小さい）部分系（プロトリュージョン）を同定し、その内部構造が有界な幅または全単調であることを特定する。
• 動的計画法を用いて、部分系の境界変数に対するすべての可能な割り当てを、内部構造に基づき計算する。
• 境界変数の可能な割り当てを表現する制約を用いて、境界サイズおよび定義域サイズの多項式関数で表されるサイズの等価な置換部分系を構築する。
• 情報理論的議論を用いて、符号化サイズの下界を証明し、境界サイズまたは定義域サイズが定数の範囲を超えて増加する場合にはカーネル化が不可能であることを示す。
• メタカーネル化の結果を活用し、ガフマングラフが定数個のこのようなプロトリュージョンに分解可能である場合、全体のILPインスタンスが多項式カーネルを有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インスタンスの大部分が有界な幅または全単調である場合、ILP可解性はカーネル化可能か？
• RQ2 このような部分系の境界にどのような構造的条件が満たされている場合に、効率的なカーネル化が可能になるか？
• RQ3 構造的部分系の境界サイズや定義域サイズが増加する場合、カーネル化の限界は何か？
• RQ4 目的関数を伴うILPの最適化バージョンに対しても、同様の前処理手法を拡張可能か？
• RQ5 構造的仮定を緩めた場合、例えば1つ以上の大きな定義域の境界変数を許容する場合、カーネル化に本質的な障壁が存在するか？

主な発見

• 境界変数がr個、定義域サイズがdであるILP部分系は、等価なサイズO(r·d^r)および符号化サイズÕ(d^{2r})の部分系に置き換え可能であり、可解性が保たれる。
• このような置換の符号化サイズは、すべての可能な境界割り当てを記述するためにΩ(d^r)ビットが必要であるため、対数的要因を除いて最適である。
• 全単調部分系の場合、符号化サイズはΘ(d^{r(r-1)/(r+1)} r log d)にまで削減可能であり、有界幅に基づく置換と比較してほぼd倍の節約が達成される。
• 下界の結果から、境界に1つの大きな定義域の変数が存在する場合でさえ、強い構造的仮定のもとでもカーネル化は不可能であることが示された。
• ガフマングラフが有界な幅または全単調性を持つO(k)個のプロトリュージョンに分解可能で、境界が小さい場合、全体のILPインスタンスはkおよびdの多項式関数で表されるサイズのカーネルを有する。
• 目的関数の寄与が十分な精度で保持される限り、結果は最適化ILPに拡張可能であるが、カーネルサイズに追加の複雑性が生じる。