[論文レビュー] A structural geometrical analysis of weakly infeasible SDPs

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、弱不実行可能半定値計画問題（SDP）を分析するための幾何的分解法を提示する。その結果、正定値行列の錐に近づくために、線形制約の核内において最大 $ n-1 $ 個の方向が十分であることが示された。主な貢献は、超不実行的分割（hyper feasible partitions）の導入であり、これは、錐に限りなく近いシーケンスを構成的に生成する枠組みを提供し、BSSモデルにおける弱不実行性の有限証明を可能にする。

ABSTRACT

In this article, we present a geometric theoretical analysis of semidefinite feasibility problems (SDFPs). This is done by decomposing a SDFP into smaller problems, in a way that preserves most feasibility properties of the original problem. With this technique, we develop a detailed analysis of weakly infeasible SDFPs to understand clearly and systematically how weak infeasibility arises in semidefinite programming. In particular, we show that for a weakly infeasible problem over $n imes n$ matrices, at most $n-1$ directions are required to approach the positive semidefinite cone. We also present a discussion on feasibility certificates for SDFPs and related complexity results.

研究の動機と目的

• 半定値計画における弱不実行性の幾何的および構造的理解を提供すること。
• アフィン実行可能集合内に、正定値行列の錐に近づくシーケンスを構成的に生成する手法を開発すること。
• 実計算のBSSモデルにおける弱不実行性の有限かつ検証可能な証明を確立すること。
• 再帰的分解手順を用いて、4つの実行可能性状態（強不実行性／弱不実行性／実行可能性）を区別すること。
• 悪条件のSDPおよび制御理論や多項式最適化におけるその影響に関する洞察を拡張すること。

提案手法

• 線形制約の核内における直交射影を用いて、半定値実行可能性問題（SDFP）をより小さな部分問題に分解し、実行可能性の性質を保持する。
• 超不実行的分割（hyper feasible partition）の概念を導入する：線形制約の核内に再帰的に構築された方向の集合であり、各方向は必ずしも正定値でないが、正の線形結合により錐に限りなく近づけることができる。
• これらの方向を計算するための手順（FP：Feasibility Partition）を採用する。初期段階として $ K_n \cap L $ 内の非ゼロ要素から出発する。
• 問題サイズを縮小し、実行可能性状態を逐次射影によって特定するための第二の手順（BP：Basis Procedure）を用いる。この手順では、FPを繰り返し適用する。
• Gordanの定理と証明ベースの検証を用いて、BSSモデル内でのすべてのステップが多項式時間で検証可能であることを保証する。
• 問題次元を1ステップあたり少なくとも1つ以上削減する再帰的還元戦略を採用し、最大 $ n $ ステップで終了を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDPにおける弱不実行性は幾何的にどのように生じるのか。このような問題を特徴づける構造的特徴は何なのか。
• RQ2 弱不実行的問題において、正定値行列の錐に近づくために、線形制約の核内に必要な方向の最小数は何か。
• RQ3 実計算のBSSモデルにおいて、弱不実行性の有限かつ検証可能な証明を構築できるか。
• RQ4 再帰的分解手順は、強実行可能性、弱実行可能性、弱不実行性、強不実行性をどのように区別できるか。
• RQ5 弱不実行的問題において、超不実行的分割は錐に近づくシーケンスを構築する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の $ n \times n $ 行列上の弱不実行的SDFPについて、線形制約の核内に最大 $ n-1 $ 個の方向があれば、アフィン実行可能集合内に正定値行列の錐に近づくシーケンスを生成することが可能である。
• このようなシーケンスを生成するためには、$ K_n \cap L $ 内の非ゼロ要素 $ a $ の存在が必須だが、十分ではない。一般には $ n-1 $ 個の方向が必要である。
• 超不実行的分割は構成的メカニズムを提供する：分割内の方向の正の線形結合を、正定値行列の錐に限りなく近づけることができる。
• 手順BPは、問題サイズを再帰的に縮小し、各ステップでFPを適用することで、強不実行性／弱不実行性／実行可能性の4つの実行可能性状態を正しく同定する。
• FPおよびBPにおけるすべての計算は、BSSモデル内で多項式時間で検証可能であり、したがってSDFPの実行可能性状態を決定することは $ \NP \cap \coNP $ に属する。
• 各ステップで問題次元が少なくとも1つ以上削減されるため、最大 $ n $ 回の反復で手順は終了する。