[論文レビュー] A structural solution to the monotonic tracking control problem

Lorenzo Ntogramatzidis, Jean‐François Trégouët+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Iterative Learning Control Systems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多入力多出力（MIMO）システムにおいて任意の初期状態から、過渡応答に立ち上がり遅れや立ち下がりがない（過収束やアンダーシュートがない）線形時不変（LTI）状態フィードバック制御則を設計する構造的解法を提示する。この手法は、システム構造に基づく必要十分な構成条件を提供し、非最小位相系を含むシステムでも任意の収束速度と単調性を実現可能である。

ABSTRACT

In this paper we present a method for designing a linear time invariant (LTI) state-feedback controller to monotonically track a constant step reference at any desired rate of convergence for any initial condition. Necessary and sufficient constructive conditions are given to deliver a monotonic step response from all initial conditions. This method is developed for multi-input multi-output (MIMO) systems, and can be applied to square and non-square systems, strictly proper and non-strictly proper systems, and, importantly, also minimum and non-minimum phase systems. The framework proposed here shows that for MIMO LTI systems the objectives of achieving a rapid settling time, while at the same time avoiding overshoot and/or undershoot, are not necessarily competing objectives.

研究の動機と目的

• 制御系において高速な安定化時間と単調応答は相反する目的であるという長年の認識に対処する。
• 任意の初期状態からMIMO LTIシステムで単調ステップ応答が達成可能かどうかを判定する、構造的で構成可能な基準を提供する。
• 従来の手法を、非最小位相系、非正方形系、非厳密プロパー系、および任意の収束速度に対応して拡張する。
• 数値探索に依存する従来の手法の限界を克服し、システム構造に基づく解析的可解条件を提供する。
• 初期状態に依存せず、すべての出力成分に対して単調性を保証するフィードバック制御則の設計を可能にする。

提案手法

• 各出力成分の追従誤差が高々1つの実指数モードによって駆動される閉ループ固有構造割り当て問題に定式化する。
• 部分空間 $\mathcal{V}_g^\star$ と条件 $\dim \mathcal{V}_g^\star \geq n - p$ を導入し、単調性の必要十分な構造的基準とする。
• すべての安定化フィードバック行列を表すために、$\ker P_{\Sigma_1}(\lambda)$ の最小次数多項式基底行列を用いる。
• 行列逆行列とパラメータ化を用いてフィードバック行列 $F_{K,H,k}(\lambda)$ を構成し、閉ループ固有値が実数かつ負（または所望の収束速度を持つ安定性）であることを保証する。
• 連続時間および離散時間システム、特に厳密プロパーおよび非厳密プロパー系に対してもこの手法を適用する。
• パラメータ化における自由度を活用し、ロバストネス（例：固有ベクトルのフロベニウス条件数の最小化）やゲインの最適化をさらに可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非最小位相系を含むMIMO LTIシステムにおいて、任意の初期状態から単調ステップ応答を達成できるか？
• RQ2 システムデータにどのような構造的条件が、単調性を保証する状態フィードバック制御則の存在を保証するか？
• RQ3 MIMOシステムにおいて、過収束やアンダーシュートを回避しながら任意の収束速度を達成することは可能か？
• RQ4 フィードバック設計をどのようにパラメータ化すれば、単調性を維持しつつ追加の性能最適化（例：ロバストネス）が可能になるか？
• RQ5 可解条件を数値探索アルゴリズムに依存せずに、システム構造のみで表現できるか？

主な発見

• 本稿では、MIMO LTIシステムにおいて、単調性と高速安定化時間は本質的に矛盾する目的ではないと確立した。
• 任意の初期状態から単調追従が達成可能な必要十分条件は $\dim \mathcal{V}_g^\star \geq n - p$ であり、これはシステム構造のみで表現される。
• 本手法は非最小位相系、特に実数の非最小位相零点を有するSISO系に対しても適用可能であり、このような系では単調性が不可能であることが判明したが、この条件は正しくそのようなケースを同定する。
• フィードバック行列は有理関数行列 $F_{K,H,k}(\lambda)$ を用いたパラメータ化により表され、所望のスペクトル特性を持つ制御則の明示的構成が可能である。
• 例題により、非最小位相系においても単調性が達成可能であることが示された：第2出力は $F = \begin{bmatrix} 1/8 & 3/8 & 17/8 \\ -9/4 & 5/4 & -3/2 \end{bmatrix}$ により即時追従する。
• 本手法により、パラメータ化における残りの自由度を活用し、ロバストネス（例：固有ベクトルの条件数の最小化）やゲインの最適化が可能である。