[論文レビュー] A structure and representations of diffeomorphism groups of non-Archimedean manifolds

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Apr 19, 2000

advanced mathematical theories参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特性が0の非アーチメデス的体 $\mathbf{F}$ に関する局所 $\mathbf{F}$-凸空間上の非アーチメデス的多様体の微分同相群の構造およびユニタリ表現を調査する。これらの群が単純かつ完全であることが示され、バナッハ＝リー群ではないが、恒等元の近傍の各元が1パラメータ部分群に属することを証明しており、コンパクト部分群による誘導表現理論の構築が可能である。

ABSTRACT

Diffeomorphism groups $G$ of manifolds $M$ on locally $\bf F$-convex spaces over non-Archimedean fields $\bf F$ are investigated. It is shown that their structure has many differences with the diffeomorphism groups of real and complex manifolds. It is proved that $G$ is not a Banach-Lie group, but it has a neighbourhood $W$ of the unit element $e$ such that each element $g$ in $W$ belongs to at least one corresponding one-parameter subgroup. It is proved that $G$ is simple and perfect. Its compact subgroups $G_c$ are studied such that a dimension over $\bf F$ of its tangent space $dim_{\bf F}T_eG_c$ in $e$ may be infinite. This is used for decompositions of continuous representations into irreducible and investigations of induced representations.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的体上の非アーチメデス的多様体の微分同相群の代数的および位相的構造を調査すること。
• これらの群が、古典的微分同相群とは根本的に異なるにもかかわらず、単純かつ完全であることを確立すること。
• これらの群内における1パラメータ部分群およびコンパクト部分群の存在と性質を分析すること。
• コンパクト部分群の接空間が稠密に張るという性質をもつ族を用いて、ユニタリ表現の誘導理論を構築すること。
• 局所コンパクトでない非アーチメデス的微分同相群への表現理論の拡張を図り、非アーチメデス的量子力学に応用可能であるようにすること。

提案手法

• 非アーチメデス的体上の多様体における $C(t)$-滑らかさおよび $C_0(t)$-滑らかさの微分同相写像を用い、$1 \leq t \leq \infty$ および解析的 $t=an$ を対象とする。
• 恒等元の近傍として閉開集合 $W$ が存在し、任意の $g \in W$ が $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$ の形の1パラメータ部分群に属することを証明する。
• その接空間が全群の接空間において稠密な部分空間を張るようなコンパクト部分群 $G^n_{u,\mathbf{K}}$ を構成する。
• 擬不変測度を用いた誘導表現理論を採用し、ヒルベルト空間上の平方可積分セクションへの表現の埋め込みを構成する。
• 特に、二重コセット空間 $N \setminus G / K$ および関連する測度 $\nu$ を分析することで、部分群からの誘導表現理論を用いる。
• 内部テンソル積を二重コセットに沿った直積分に分解するユニタリ作用素 $A$ を用いて、テンソル積表現のユニタリ同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーチメデス的多様体上の微分同相群の構造的性質は、実または複素多様体上のものとどのように異なるか？
• RQ2 群がバナッハ＝リー群でないにもかかわらず、1パラメータ部分群が局所的に稠密であることは可能か？
• RQ3 無限次元接空間をもつコンパクト部分群は、非アーチメデス的微分同相群の表現理論において果たす役割は何か？
• RQ4 局所コンパクト性が欠如する状況下で、誘導表現はどのように構成され、分解されるか？
• RQ5 古典的表現論的道具、たとえば誘導表現やテンソル積は、非アーチメデス的微分同相群へどの程度適応可能か？

主な発見

• 非アーチメデス的多様体 $M$ の微分同相群 $\mathrm{Diff}(t,M)$ は、バナッハ＝リー群ではないが、単純かつ完全である。
• 恒等元の近傍として閉開集合 $W$ が存在し、任意の $g \in W$ が $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$ の形の1パラメータ部分群に属する。
• $\mathrm{Diff}(t,M)$ は、微分方程式の解の一意性の欠如および古典的局所連結性の不成立により、バナッハ＝リー群ではない。
• 接空間の $\mathbf{K}$-線形包が全群の接空間において稠密に張るようなコンパクト部分群の族 $\{G^n_{u,\mathbf{K}}\}$ が存在する。
• 誘導表現 $T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu}$ は、二重コセット空間 $\sf D = N \setminus G / K$ 上の直積分 $\int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$ にユニタリ同値である。
• ユニタリ作用素 $A$ が存在し、$A^{-1} T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu} A = \int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$ が成り立ち、各 $T(\xi)$ は部分群 $g^{-1}K'g \cap \gamma^{-1}N'\gamma$ 上の表現から誘導される。