[論文レビュー] A Study of a Nonlinear Schrödinger Equation for Optical Fibers

Domenico Felice|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Numerical methods for differential equations被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単モード光ファイバ内の光伝播を記述する非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）を研究し、カトウの手法とストリコフ推移を用いて解の局所的・大域的存在を検討する。本稿では、特定の項を追加することによって修正された、可積分性を有するNLSEが、ある条件下で物理的NLSEとL²ノルムにおいて近接することを確立し、標準的立方NLSEへの変換により解析的解が得られることを示す。

ABSTRACT

Non linear fiber optics concerns with the non linear optical phenomena occurring inside optical fibers. The propagation of light in single-mode fibers is governed by the one-dimensional nonlinear Schrödinger equation (NLS) in the presence of attenuation, dispersion, and non linear effects. In this NLS the role of space and time is exchanged with respect to the standard NLS as introduced in the almost entire mathematical literature. Such an exchange is far from being only formal as it enters in the interpretation of basic ideas as well-posedness and stability, as well as in the phenomenological meaning of the predictions formulated by such model. In this dissertation, the physical bases of the optical fibers are provided, and a derivation of the NLS from the Maxwell's equations is reviewed. Furthermore, problems of local nature (local existence of solutions, uniqueness) and problems of global nature (global existence) are studied by the Kato's method based on a fixed point argument and Strichartz's estimates. Moreover, tools usually employed to study global problems connected with finite-time blow up of solutions, are here used to show a closeness result between the NLS for optical fibers and an integrable NLS. Integrability is pursued by means of the Painlevé analysis that allows to describe quite a large class of integrable equations like the transformed equation from the standard NLS. Among these functions, one can be described as a standard NLS with an additional linear harmonic oscillator term. This equation is showed to be close in $L^2$-norm to the NLS for single-mode fibers. Finally, the dissertation focuses on two kinds of stationary solutions: the so-called time-homogenous, that is given by a stationary wave oscillating in space, and the soliton-like solution. Results are obtained about stability properties of them.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）の局所的・大域的解の存在を、減衰、分散、非線形性を伴う単モード光ファイバにおいて分析すること。
• 連続波およびソリトン型解の小さな摂動下での安定性を特に注目して調査すること。
• 物理的NLSEが特定の項の追加によって可積分NLSEに近似可能となる条件を同定すること。
• L²ノルムの推定を用いて、物理的NLSEと可積分NLSEの解の間の定量的近接性を確立すること。
• 標準的立方NLSEの既知の解から、可積分系の解析的解を導出するための変換技術を適用すること。

提案手法

• Katoの不動点定理とストリコフ推移を組み合わせて、NLSEの局所的・大域的解の存在を証明する。
• 一般の非定常1次元シュレーディンガー方程式に対するPainlevé解析を用いて、可積分性の条件を同定する。
• 物理的NLSEに追加の項を導入することで、Painlevé条件を満たす可積分系に変換する。
• 可積分非定常NLSEを標準的立方NLSEに変換する技術を用いて、解析的解を生成する。
• 物理的NLSEと可積分NLSEの解の間の近接性を測るため、L²ノルムにおける距離関数 $ \widetilde{d}_{\theta} $ を定義する。
• 安定性定理（例：定理 \ref{teoremadistabilitaorbitale}）を適用して、摂動下での解の軌道的安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光ファイバにおける物理的NLSEが、特定の項の追加によって可積分NLSEに近似可能となる条件は何か？
• RQ2 導出された条件下で、物理的NLSEと可積分NLSEの解はL²ノルムにおいてどの程度近接しているか？
• RQ3 減衰と分散が存在する中で、連続波およびソリトン型解の安定性挙動はいかなるものか？
• RQ4 可積分NLSEは標準的立方NLSEに変換可能か？また、この変換から導ける解析的解は何か？
• RQ5 Painlevé性質は、光ファイバにおける非定常NLSEの可積分形を同定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 光ファイバにおける物理的NLSEは、減衰と分散のためPainlevé可積分性条件を満たさず、非可積分的である。
• NLSEに特定の項を追加することで、系は可積分的となり、標準的立方NLSEに変換可能となり、解析的解の構成が可能になる。
• 適切なパrameter制約下では、可積分NLSEの解は物理的NLSEの解とL²ノルムにおいて近接しており、距離関数 $ \widetilde{d}_{\theta} $ で定量的に評価される。
• 解の軌道的安定性が確立された：初期摂動が $ \widetilde{d}_{\theta} $ で十分に小さい場合、すべての $ z \geq 0 $ に対して解は基準解の軌道に近いままである。
• 近接性の結果は、標準的NLSEの有限時間爆発解析の技術を用いて証明され、近似の堅牢性が示された。
• 本手法により、可積分系に対して解析的ソリトン型および連続波解が導出可能であり、これらは物理系に戻して再マッピング可能である。