[論文レビュー] A Study of Distributionally Robust Multistage Stochastic Optimization

Jianqiu Huang, Kezhuo Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 49被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、履歴データを用いてL∞-ノルムで定義される不確実性集合を構築することで、最悪ケース期待コストを最小化するデータ駆動型、分布に強くロバストな多段階確率的最適化フレームワークを提案する。ネストされたミニマックス構造を期待値と条件付きリスク価値（CVaR）の凸結合に再定式化することにより、モデルは解可能な形となり、カスタマイズされたSDDPアルゴリズムで解けるようになる。また、データサイズが増加するにつれて、理論的にリスク中立的MSPに収束することが保証される。

ABSTRACT

In this paper, we focus on a data-driven risk-averse multistage stochastic programming (RMSP) model considering distributional robustness. We optimize the RMSP over the worst-case distribution within an ambiguity set of probability distributions constructed directly from historical data samples. The proposed RMSP is intractable due to the multistage nested minimax structure in its objective function, so we reformulate it into a deterministic equivalent that contains a series of convex combination of expectation and conditional value at risk (CVaR), which can be solved by a customized stochastic dual dynamic programming (SDDP) algorithm in this paper. As the size of collected data samples increases to infinity, we show the consistency of the RMSP with distributional robustness to the traditional multistage stochastic programming. In addition, to test the computational performance of our proposed model and algorithm, we conduct numerical experiments for a risk-averse hydrothermal scheduling problem, the results of which demonstrate the effectiveness of our RMSP framework.

研究の動機と目的

• 実際の状況ではしばしば未知または曖昧な確率分布に依存する伝統的な多段階確率的最適化（MSP）の限界を是正すること。
• 履歴データサンプルを用いて分布の曖昧性を扱うリスク回避的多段階確率的最適化（RMSP）モデルの構築。
• 分布に強くロバストなRMSPにおける解けないネストされたミニマックス構造を、期待値とCVaRの凸結合に置き換えることで、解可能な形に再定式化すること。
• 履歴データサンプル数が増加するにつれて、提案されたRMSPが古典的なリスク中立的MSPに理論的に収束することを確立すること。
• さまざまな真の分布下での水力発電スケジューリング問題に対する数値実験を通じて、計算上の有効性を示すこと。

提案手法

• 履歴データサンプルを用いて、L∞-ノルムで境界を定義する不確実性集合としての確率分布の集合を構築する。
• 元の分布に強くロバストなRMSPの目的関数（不確実性集合内での最悪分布に関するミニマックス）を、期待コストとCVaRの凸結合を含む決定的同等形に再定式化する。
• 再定式化された問題を解くために、凸結合の構造を活かしたカスタマイズされた確率的双対動的プログラミング（SDDP）アルゴリズムを適用する。
• 再定式化されたフレームワーク下で理論的収束性を証明することで、SDDPアルゴリズムの収束を保証する。
• SDDP反復中における最適値の上界と下界を、シナリオベースのサンプリングと反復的バウンディングにより近似する。
• 正規分布、対数正規分布、指数分布、ワイブル分布の複数の真の分布下で、水力発電スケジューリング問題に対する数値実験を通じて、再定式化とアルゴリズムの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 履歴データのみを用いて、確率分布の曖昧性を扱える分布に強くロバストな多段階確率的最適化モデルをどのように定式化できるか？
• RQ2 分布に強くロバストなRMSPにおけるネストされたミニマックス構造を、ロバスト性を損なわずに解ける形に再定式化できるか？
• RQ3 履歴データサンプル数が増加するにつれて、提案されたRMSPフレームワークは古典的なリスク中立的MSPに収束するか？
• RQ4 データサイズが増加する際、解のギャップと反復回数の観点から、カスタマイズされたSDDPアルゴリズムの性能はどのように変化するか？
• RQ5 データサイズが増大するにつれて、リスク回避的解は完全情報下でのリスク中立的解にどの程度近づくか？

主な発見

• 提案されたRMSPモデルは、履歴データサンプル数が増加するにつれてリスク中立的MSPに収束する。特に指数分布では、N=10のときのリスク回避的・リスク中立的目的関数のギャップが1.78から、N=9000では0.08にまで減少する。
• SDDPアルゴリズムは高速に収束し、9,000件のデータサンプルを使用した場合、全テスト分布で約75～90反復で収束する。対数コストプロットでは、35ステップ目以降で安定した収束が観察される。
• データ量が増えるにつれてSDDPに必要な反復回数は著しく減少する。N=10では300ステップ、N=5000では85ステップにまで減少し、不確実性集合が縮小するに従い収束が早くなることが示された。
• リスク回避的（RA）とリスク中立的（PI）解のギャップは、データサイズの増加に伴い単調に減少し、指数分布ではN=10で1.78、N=9000で0.08にまで低下する。これは理論的収束を裏付ける。
• 期待値とCVaRの凸結合による再定式化により、ネストされたミニマックス構造が効果的に排除され、SDDPによる効率的解法が可能になった一方で、分布に強くロバストな性質は維持された。
• 水力発電スケジューリング問題における数値実験では、正規分布、対数正規分布、指数分布、ワイブル分布の異なる真の分布下でも一貫した性能を示し、データサイズが増大するにつれてリスク回避的解がリスク中立的ベンチマークに近づくことが確認された。