[論文レビュー] A Study of Generalized Covariant Hamilton Systems On Generalized Poisson manifold

Gen Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

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ひとこと要約

本稿では、構造関数に基づいて一般化された構造ポアソン括弧と一般化された勾配作用素を導入することにより、一般化されたポアソン多様体上での一般化された共変ハミルトニアン系を提案する。共変形式化を確立し、一般化ハミルトニアン系とSダイナミクス系を統一し、多様体上での複雑な力学系を扱うための理論的枠組みを強化する。

ABSTRACT

Since the basic theoretical framework of generalized Hamilton system is not perfect and complete, there are often some practical problems that can not be expressed by generalized Hamilton system. The generalized gradient operator is defined by the structure function on manifold to improve the basic theoretical framework of the whole generalized Hamilton system. The generalized structure Poisson bracket is defined as well on manifolds. The geometric bracket is also given, and the covariant extension form of the generalized Hamilton system directly related to the structure function, the generalized covariance, is further obtained--generalized covariant Hamilton system, It includes thorough generalized Hamiltonian system and S-dynamic system.

研究の動機と目的

• 実用的な力学系をモデル化する能力に制限を受ける一般化ハミルトニアン系における理論的ギャップを解消すること。
• 構造関数に基づく勾配作用素を導入することで、一般化ハミルトニアン系の基礎的枠組みを改善すること。
• 多様体上でのより豊かな幾何学的・力学的構造を支援するため、一般化されたポアソン括弧を定義すること。
• 構造関数に直接関連した一般化ハミルトニアン系の共変拡張を導出すること。
• 単一の共変枠組みの下で、完全な一般化ハミルトニアン系とSダイナミクス系を統一すること。

提案手法

• 多様体上での構造関数を用いて一般化された勾配作用素を定義し、ハミルトニアン形式を拡張すること。
• 多様体上の標準ポアソン括弧を一般化する一般化された構造ポアソン括弧を導入すること。
• 系の共変形式化を支援するための幾何的括弧を構築すること。
• 構造関数を用いて一般化ハミルトニアン系の共変拡張形を導出すること。
• 一般化された共変ハミルトニアン系と、完全な一般化ハミルトニアン系やSダイナミクス系といった既存の系との関係を確立すること。
• 一般化されたポアソン多様体上で微分幾何的道具を用いることで、形式化の整合性と共変性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ハミルトニアン系の理論的枠組みをどのように改善すれば、実用的な力学系をより効果的に扱えるようになるか？
• RQ2 構造関数は多様体上での一般化された勾配作用素とポアソン括弧を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 構造関数を用いて一般化ハミルトニアン系の共変形式化をどのように導出できるか？
• RQ4 一般化された共変ハミルトニアン系は、完全な一般化ハミルトニアン系とSダイナミクス系をどのように統一するか？
• RQ5 整合的かつ共変な一般化ハミルトニアン形式化を支えるために必要な幾何学的・代数的構造は何か？

主な発見

• 構造関数を介して一般化された勾配作用素が成功裏に定義され、ハミルトニアン形式の適用範囲が拡大された。
• 一般化された構造ポアソン括弧が導入され、標準ポアソン括弧が一般化されたポアソン多様体へと拡張された。
• 一般化ハミルトニアン系の共変構造を支援するため、幾何的括弧が形式化された。
• 一般化ハミルトニアン系の共変拡張が構造関数から直接導出され、整合性と共変性が保証された。
• 一般化された共変ハミルトニアン系が、完全な一般化ハミルトニアン系とSダイナミクス系の特殊ケースとして包含されることを示した。
• 提案された枠組みは、多様体上での一般化ハミルトニアン力学の統一的かつ包括的な理論的基盤を提供する。