[論文レビュー] A Study of U(N) Lattice Gauge Theory in 2-dimensions

Spenta R. Wadia|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用数 71

ひとこと要約

この論文は、一定の電場下の円周上の1次元クーロンガスへの写像を通じて、2次元におけるU(N)格子ゲージ理論を研究している。大N極限は特異積分方程式を用いて解ける。臨界点付近では有限Nと無限Nの計算結果が良好に一致するが、N→∞極限においてE=1で誤った連続的相転移が生じることを特定しており、中間結合領域における無限N近似の病理的性質を示唆している。

ABSTRACT

This is an edited version of an unpublished 1979 EFI (U. Chicago) preprint: "The U(N) lattice gauge theory in 2-dimensions can be considered as the statistical mechanics of a Coulomb gas on a circle in a constant electric field. The large N limit of this system is discussed and compared with exact answers for finite N. Near the fixed points of the renormalization group and especially in the critical region where one can define a continuum theory, computations in the thermodynamic limit $(N ightarrow \infty)$ are in remarkable agreement with those for finite and small N. However, in the intermediate coupling region the thermodynamic computation, unlike the one for finite N, shows a continuous phase transition. This transition seems to be a pathology of the infinite N limit and in this simple model has no bearing on the physical continuum limit."

研究の動機と目的

• 有限Nの結果と比較することで、U(N)格子ゲージ理論における大N極限の関連性と限界を明確化すること。
• 熱力学的極限（N→∞）が、特に renormalization group 固定点付近で物理的連続的挙動を正確に捉えられるかを検証すること。
• 大N極限における相転移の性質を検討し、有限Nの挙動と比較してその物理的意義を評価すること。
• U(N)ゲージ理論と一定電場を有するクーロンガスとの間の明確な数学的写像を確立し、N→∞極限での正確な可解性を可能にすること。
• 有限Nと無限Nの計算結果を比較することで、2次元U(N)ゲージ理論における1/N展開の妥当性を評価すること。

提案手法

• ランダム行列理論を用いて、U(N)格子ゲージ理論の分配関数を一定電場E=2β/Nを持つ円周上のクーロンガスに写像する。
• 修正ベッセル関数I_{i-j}(2β)を含むトーペリッツ行列式として分配関数を表現し、有限Nでの正確な計算を可能にする。
• 特異積分方程式（コーシー核付き）を用いて大N極限を解き、Eの関数としての電荷密度分布を決定する。
• 電荷密度にギャップが現れるE=1で相転移を特定し、N→∞極限における連続的転移を示唆する。
• 連続的極限を解析するための renormalization group 手法を用い、物理的観測量が意味を持つ臨界領域を定義する。
• 有限N=2,3,4,5におけるβ=0およびβ=∞（弱結合および強結合）の周囲での分配関数のテイラー展開を実行し、大N結果と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元U(N)格子ゲージ理論の大N極限は、臨界領域付近において有限Nの正確な結果とどのように比較されるか？
• RQ2 無限N極限は物理的連続的極限を正しく記述しているのか、それとも誤った特徴（例：誤った相転移）を導入しているか？
• RQ3 大N極限で観測されるE=1における相転移の性質は何か？これは物理的特徴であるのか、N→∞近似の結果として生じるアーティファクトであるか？
• RQ4 クーロンガス写像を用いることで、大N極限におけるU(N)ゲージ理論の分配関数は正確に解けるか？また、1/N展開に与える影響は何か？
• RQ5 なぜ無限N計算ではE=1で非解析的挙動を示す一方で、有限N結果は解析的のままであるのか？これは1/N展開の妥当性にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 2次元U(N)格子ゲージ理論の大N極限は、円周上のクーロンガスにおける電荷密度の特異積分方程式を用いて正確に解ける。
• E ≤ 1では電荷密度はギャップなしで電場と共役であり、E > 1ではギャップが現れ、E=1で連続的相転移が発生することを示唆する。
• 有限Nの分配関数はβに関して解析的であるが、無限N極限ではE=1で非解析的挙動を示し、N→∞極限における誤った相転移を示唆する。
• 固定点β=0およびβ=∞の近傍では、大Nと有限Nのウィルソンループω(β,N)の計算結果が完全に一致し、臨界領域における大Nアプローチの信頼性を確認する。
• 弱結合領域では大N結果でω(β,N) ≈ β/N = E/2、強結合領域ではω(β,N) ≈ 1 − 1/(2E)となり、有限Nのテイラー展開と一致し、臨界点付近での熱力学的極限の妥当性を検証する。
• トーペリッツ行列式への写像は、理論のフェルミオン的表現を示唆し、そのような行列式の評価問題は、N→∞極限においてコーシー核付きクーロンガスを解くことに等しい。