[論文レビュー] A Study on Linear Jaco Graphs

Johan Kok, C Susanth+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Graph theory and applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形関数 $f(x) = mx + c$ により定義される無限 $f(x)$-ルート有向グラフから導かれる、有限で有向なグラフの族としての線形ジャコグラフを導入する。ここで $m \in \mathbb{N}$、$c \in \mathbb{N}_0$ である。基礎的な性質、例えば次数の公式や弧の構成規則を確立し、特定の線形ジャコグラフにおける弧の数の閉形式表現を提示することで、多項式ジャコグラフの今後の研究に向けた基盤を築く。

ABSTRACT

We introduce the concept of a family of finite directed graphs (\emph{positive integer order,} $f(x) = mx + c; x,m \in \Bbb N$ and $c \in \Bbb N_0)$ which are directed graphs derived from an infinite directed graph called the $f(x)$-root digraph. The $f(x)$-root digraph has four fundamental properties which are; $V(J_\infty(f(x))) = \{v_i: i \in \Bbb N\}$ and, if $v_j$ is the head of an arc then the tail is always a vertex $v_i, i < j$ and, if $v_k$ for smallest $k \in \Bbb N$ is a tail vertex then all vertices $v_\ell, k < \ell < j$ are tails of arcs to $v_j$ and finally, the degree of a vertex $v_k$ is $d(v_k) = mk + c$. The family of finite directed graphs are those limited to $n \in \Bbb N$ vertices by lobbing off all vertices (and corresponding arcs) $v_t, t > n.$ Hence, trivially we have $d(v_i) \leq mi + c$ for $i \in \Bbb N.$ It is meant to be an \emph{introductory paper} to encourage further research.

研究の動機と目的

• 文献に登場する以前の特殊ケースの一般化として、線形ジャコグラフの概念を形式化すること。
• 無限 $f(x)$-ルート有向グラフおよびその有限切断を定義し、構造的および次数的性質が一貫していることを保証すること。
• 特に $n = f(f(1)+1)+1$ の場合に、特定の線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ における弧の数の閉形式表現を導出すること。
• 多項式 $f(x)$ を用いた線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ への一般化のための枠組みを確立すること。

提案手法

• 頂点集合 $\{v_i : i \in \mathbb{N}\}$ を持ち、弧 $(v_i, v_j)$ が $(f(i) + i) - d^-(v_i) \geq j$ を満たす場合にのみ存在する、無限線形ジャコグラフ $J_\infty(f(x))$ を定義することで、構造的で順序付けられた有向階層を保証する。
• 弧が $v_n$ に到達する最小のテイル頂点を特定するための系列 $c_{f(x),n}$ を導入し、再帰的な弧の構成を可能にする。
• 数学的帰納法と次数解析を用いて、$n \geq 2$ のとき $d^+(v_n) = (m-1)n + c + c_{f(x),n}$ が成り立つことを証明し、関数 $f(x)$ と頂点の出次数の間の関係を明確にする。
• グラフを完全部分グラフ $K_{m+c+1}$ と以前の頂点からの追加の弧に分解し、和公式を用いて $J_n(f(x))$ における弧の数を導出する。
• 帰納法を用いて $c_{f(x),n}$ が適切に定義されており、非減少であることを証明し、一貫した弧の生成を保証する。
• 弧の定義を多項式関数 $f(x) = \sum a_i x^i + c$ に拡張することで、多項式ジャコグラフへの一般化を提案するが、$f(x)$ が負の値を取る場合の調整も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形関数 $f(x) = mx + c$ により定義される無限 $f(x)$-ルート有向グラフから、どのようにして有限有向グラフの族を体系的に導出できるか？
• RQ2 有限線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ における頂点 $v_n$ の出次数 $d^+(v_n)$ と関数 $f(x)$ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 特定の $n$ に対して、線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ における弧の総数の閉形式表現を導出可能か？
• RQ4 線形ジャコグラフの構造的性質、例えば誘導部分グラフや次数列は、パラメータ $m$ と $c$ にどのように依存するか？
• RQ5 十分に大きな線形ジャコグラフの次数列から、線形関数 $f(x)$ を一意に回復できる条件は何か？

主な発見

• 線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ における頂点 $v_n$ の出次数は、$n \geq 2$ のとき $d^+(v_n) = (m-1)n + c + c_{f(x),n}$ で与えられる。ここで $c_{f(x),n}$ は $mk + c_{f(x),k} \geq n$ を満たすような $k < n$ の最小のインデックスである。
• グラフ $J_{f(f(1)+1)+1}(f(x))$ における弧の数は、$\epsilon(J_n(f(x))) = \epsilon(K_{m+c+1}) + \epsilon(K_{m^2 + m(c-1) - c + 2}) + \frac{1}{2}m(m+c)(m+c-1)$ で与えられ、完全部分グラフと追加の弧から導出される。
• 系列 $c_{f(x),n}$ は適切に定義されており、非減少である。さらに $c_{f(x),n+1} \in \{c_{f(x),n}, c_{f(x),n}+1\}$ を満たす。これにより、一貫した弧の生成が保証される。
• $f(x) = k-1$ の場合、$n \leq m + c + 1$ であれば完全グラフ $K_n$ は線形ジャコグラフである。このとき、$K_n$ は $m + c + 1$ 種類の異なる線形関数に対応する。
• 頂点 $v_i$ と $v_{i+1}$ からの最大弧インデックスの差は、$d(v_i) = f(i)$ かつ $d(v_{i+1}) = f(i+1)$ を満たす限り、$m$ または $m+1$ である。
• 本稿では、$f(x)$ が多項式である線形ジャコグラフ $J_n(f(x))$ が、弧の定義を一般化し、$f(x)$ が負の値を取る場合を許容することで、多項式ジャコグラフとして研究可能であると提案する。