[論文レビュー] A study on random permutation graphs

Oğuz Gürerk, I\c{s}lak, \"Umit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2019

Graph Labeling and Dimension Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一様ランダムな順列において反転を形成する頂点間の値が辺を形成する、ランダム順列グラフの確率的および漸近的性質を研究する。確率論およびU統計の道具を用いて、ノード次数、孤立頂点の数、クリークの数に関する中心極限定理を確立し、一様ランダム順列モデル下での主要なグラフ統計量の明示的な漸近分布を導出する。

ABSTRACT

For a given permutation $\pi_n$ in $S_n$, a random permutation graph is formed by including an edge between two vertices $i$ and $j$ if and only if $(i - j) (\pi_n(i) - \pi_n (j)) < 0$. In this paper, we study various statistics of random permutation graphs. In particular, the degree of a given node, the number of nodes with a given degree, the number of isolated vertices, and the number of cliques are analyzed. Further, explicit formulas for the probabilities of having a given number of connected components and isolated vertices are obtained.

研究の動機と目的

• ランダム順列グラフにおける個々のノードの次数分布を分析すること。
• 孤立頂点および連結成分の数の正確かつ漸近的分布を導出すること。
• mクリークおよび長さm以上のサイクルの数に関する中心極限定理を確立すること。
• 与えられた次数の頂点数の期待値を一般化し、孤立頂点や葉（次数1の頂点）を含むこと。
• グラフ論的性質を、増加および減少部分列を含むランダム順列内の組合せ的構造と関連付けること。

提案手法

• ランダム順列グラフを一様ランダム順列 πn ∈ Sn でモデル化し、iとjの間に辺が存在する条件は (i−j)(πn(i)−πn(j)) < 0 である。
• 辺と順列内の反転の等価性を用いて、グラフ統計量を順列統計に再定式化する。
• Rényiの古典的結果を応用し、一様順序統計に基づくi.i.d.ベルヌーイ指標の和としてノード次数を表現する。
• U統計理論を用いて、mクリーク数および長さ≥mのサイクル数に関する中心極限定理を証明する。
• 対称性および分布的同値性を用いて、長さmの減少部分列の数が、長さmの増加部分列の数と同一分布に従うことを示す。
• 既知の長さの最大増加部分列に関する結果（Baik-Deift-Johansson）を活用し、グラフの最大サイクル長の極限分布を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ のとき、ランダム順列グラフにおける固定ノードの次数の極限分布は何か？
• RQ2 ランダム順列グラフにおいて、正確にk個の孤立頂点をもつ確率は何か？
• RQ3 nが増加する際、ランダム順列グラフにおけるmクリーク数は中心極限定理を満たすか？
• RQ4 ランダム順列グラフにおける次数dの頂点数の期待値は何か？ また、孤立頂点や葉への一般化はどのように行われるか？
• RQ5 グラフにおける長さm以上のサイクル数は、元の順列における増加部分列数とどのように関連するか？

主な発見

• ランダム順列グラフにおける中央ノードの次数は中心極限定理を満たす：(d(n/2) − n/2)/√n →d N(0, U(1−U))、ここでU ∼ Uniform(0,1)。
• 任意の固定ノードkについて、n → ∞ のとき次数は中心極限定理を満たし、中央ノードの場合の結果を拡張する。
• mクリーク数Kmは中心極限定理を満たす：(Km − E[Km])/√Var(Km) →d Z、ここでZは標準正規分布に従う。
• 長さm以上のサイクル数も中心極限定理を満たし、階乗および二項係数を含む明示的な漸近分散が得られる。
• 次数dの頂点数の期待値が閉形式で導出され、孤立頂点や葉の期待値の一般化がなされる。
• 最大サイクル長Lnは Ln − 2√n / n^{1/6} →d TW を満たす、ここでTWはTracy-Widom分布であり、グラフの最大サイクルが最大増加部分列問題と関連づけられる。