[論文レビュー] A Subquadratic Algorithm for 3XOR

Martin Dietzfelbinger, Philipp Schlag+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特定のパトリシアトライを用いて、任意の a に対して a ⊕X を線形時間で走査可能にする O(n²) 決定的アルゴリズムを提示する。これにより、最適な二次時間で 3XOR 問題を解ける。また、w = O(n log n) の場合、期待計算時間 O(n² · min{log³w/w, (log log n)²/log²n}) のランダム化アルゴリズムを導入し、最良の int3SUM 界に log w 要因を除いて一致する。さらに、3XOR をオフライン SetDisjointness および SetIntersection に還元することで、条件付き下界を確立する。

ABSTRACT

Given a set X of n binary words of equal length w, the 3XOR problem asks for three elements a, b, c in X such that a oplus b=c, where oplus denotes the bitwise XOR operation. The problem can be easily solved on a word RAM with word length w in time O(n^2 log n). Using Han's fast integer sorting algorithm (STOC/J. Algorithms, 2002/2004) this can be reduced to O(n^2 log log n). With randomization or a sophisticated deterministic dictionary construction, creating a hash table for X with constant lookup time leads to an algorithm with (expected) running time O(n^2). At present, seemingly no faster algorithms are known. We present a surprisingly simple deterministic, quadratic time algorithm for 3XOR. Its core is a version of the PATRICIA tree for X, which makes it possible to traverse the set a oplus X in ascending order for arbitrary a in {0, 1}^{w} in linear time. Furthermore, we describe a randomized algorithm for 3XOR with expected running time O(n^2 * min{log^3(w)/w, (log log n)^2/log^2 n}). The algorithm transfers techniques to our setting that were used by Baran, Demaine, and Patrascu (WADS/Algorithmica, 2005/2008) for solving the related int3SUM problem (the same problem with integer addition in place of binary XOR) in expected time o(n^2). As suggested by Jafargholi and Viola (Algorithmica, 2016), linear hash functions are employed. The latter authors also showed that assuming 3XOR needs expected running time n^(2-o(1)) one can prove conditional lower bounds for triangle enumeration just as with 3SUM. We demonstrate that 3XOR can be reduced to other problems as well, treating the examples offline SetDisjointness and offline SetIntersection, which were studied for 3SUM by Kopelowitz, Pettie, and Porat (SODA, 2016).

研究の動機と目的

• 3SUM に対して広範な研究がなされているにもかかわらず、未解決のままの決定的サブ二次 3XOR アルゴリズムの開発。
• バラン、デメイン、パトラシュクの手法を、線形ハッシュ関数とワードレベル演算を用いて 3XOR 環境に適応する。
• 3SUM 複雑度で用いられるのと同様の還元法を用いて、3XOR をオフライン SetDisjointness および SetIntersection に還元し、条件付き下界を確立する。
• 3XOR と 3SUM の構造的類似性が、最適時間複雑度に深い関連をもたらすかどうかを検討する。特に、XOR にはフレドマンのテクニックが存在しないことから、その理由を解明する。

提案手法

• ワード演算のみを用いて、X に対してワード RAM 互換のパトリシアトライを構築し、ビット操作を避ける。これにより、任意の a ∈{0,1}^w に対して a ⊕X を昇順に O(|X|) 時間で走査可能になる。
• 線形かつ 1-ユニバーサルなハッシュ関数を用いて X をバケットに分割し、ハッシュ化とバケットの共通部分検査により、効率的なランダム化探索を実現する。
• h2(x) = h21(x) ◦ h22(x) のように、h21 と h22 が 1-ユニバーサルクラスに属する多段階ハッシュスキームを適用し、ランダム化アルゴリズムにおける誤検出確率を低減する。
• オフライン還元では、ハッシュ値と XOR シフトを用いてシフトされたバケット集合 X↑_u,v および X↓_u,v を作成し、共通部分が空でないかをチェックして解の検出を行う。
• SetDisjointness に対しては Θ(log n) 個のハッシュ関数を選択し、誤検出確率を多項式的に抑え、高確率で正しさを保証する。
• 交差結果から解を再構築し、O(n²) 時間で検証することで、全体のアルゴリズムが効率的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ワード操作と特殊なパトリシアトライ構造のみを用いて、3XOR の決定的 O(n²) アルゴリズムを達成できるか？
• RQ2 期待計算時間が、最良の int3SUM 界に近く、具体的には O(n² · min{log³w/w, (log log n)²/log²n}) となるランダム化 3XOR アルゴリズムを達成できるか？
• RQ3 3XOR をオフライン SetDisjointness および SetIntersection 問題に還元し、3SUM のパラダイムと同様に条件付き下界を保持できるか？
• RQ4 なぜ 3SUM のフレドマンのテクニックが XOR に拡張できないのか？その背後にある構造的差異は何か？

主な発見

• パトリシアトライを構築することで、任意の a に対して a ⊕X を線形時間で走査可能になる。これにより、ワード操作のみを用いて 3XOR の決定的アルゴリズムが O(n²) 時間で実行可能になる。
• ランダム化アルゴリズムは、w = O(n log n) の場合、期待計算時間 O(n² · min{log³w/w, (log log n)²/log²n}) を達成し、int3SUM 界に log w 要因を除いて一致する。
• w > n log n の場合、アルゴリズムは O(n log²n) 時間で実行され、w と log n 依存性のクロスオーバー点は w = (log²n) log log n に位置する。
• 本稿では 3XOR をオフライン SetDisjointness および SetIntersection に還元し、3XOR を o(n²) 時間で解けるならば、これらの問題に対してもサブ二次時間解法が得られることを示した。
• ランダム化還元における誤検出の期待数は O(n²−δ) であり、Θ(n log n) 回のサンプリングにより、全体のアルゴリズムの期待計算時間は O(n²−Ω(1)) のまま保たれる。
• XOR に対してフレドマン型の恒等式（例：a ⊕b ≺c ⊕d ⇔ a ⊕d ≺c ⊕b を満たす線形順序が存在しない）が存在しないことから、3XOR と 3SUM の間には、表面的な類似性とは裏腹に根本的な構造的ギャップがあると考えられる。