[論文レビュー] A subspace shift technique for solving close-to-critical nonsymmetric algebraic Riccati equations

Bruno Iannazzo, Federico Poloni|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、M行列構造を有する近臨界非対称代数リッカチ方程式（NARE）を解く際の収束加速および条件数改善を目的として、部分空間シフト技術を導入する。特異性に近い領域における悪条件性を是正するように反復的部分空間反復プロセスを変更することにより、完全な行列逆行列計算を要せずとも高速収束を回復させる。数値実験により、困難なケースにおいても堅牢な性能を示すことが確認された。

ABSTRACT

The worst situation in computing the minimal nonnegative solution X� of a nonsymmetric algebraic Riccati equation R(X) = 0 associated with an M-matrix occurs when the derivative of R at Xis near to a singular matrix. When the derivative of R at Xis singular, the problem is ill-conditioned and the convergence of the algorithms based on matrix iterations is slow; however, there exist some techniques to remove the singularity and restore well-conditioning and fast convergence. This phenomenon is partially shown also in the close-to-critical case, but the techniques used for the null recurrent case cannot be applied to this setting. We present a new method to accelerate the convergence and amend the conditioning in close-to-critical cases. The numerical experiments confirm the efficiency of the new method.

研究の動機と目的

• M行列構造を有する近臨界非対称代数リッカチ方程式（NARE）を解く際の、収束の遅さおよび悪条件性を是正すること。
• 特異点除去技術の限界を克服すること。既存手法は、正確に特異（零再帰的）な場合にのみ有効であり、近臨界領域では効果を示さない。
• リッカチ作用素の微分がほぼ特異となる状況において、NAREソルバーの高速収束性および良好な条件数を回復する手法を開発すること。
• 悪条件NARE問題において、標準的反復法の代替として、数値的に堅牢かつ効率的な代替手法を提供すること。

提案手法

• 本手法は、特異性に近い領域における悪条件性を是正するように、反復的部分空間反復プロセスを変更する部分空間シフト技術を導入する。
• ほぼ特異な微分行列の直接逆行列計算を避ける形で、探索部分空間を再定義することで、数値的安定性を維持する。
• 反復空間内の問題となる方向を分離する、デフラスティックに類似したメカニズムから導出されるシフトを採用する。
• NAREのM行列構造を活用することで、変更された反復が良好な条件数および収束性を保つことを保証する。
• 標準的な固定点法またはニュートン型反復に部分空間シフトを統合するが、リッカチ方程式の根本的構造を変更しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分がほぼ特異となる近臨界非対称代数リッカチ方程式では、どのようにして収束を加速できるか？
• RQ2 既存の特異性除去手法が近臨界状態では失敗する理由は何か？ そして、良好な条件数を回復する代替的手法は何か？
• RQ3 完全な行列因子分解を要せず、条件数および収束性を向上させる部分空間シフト技術を設計可能か？
• RQ4 悪条件設定下におけるNAREソルバーの数値的安定性および効率性に、部分空間シフトが及ぼす影響は何か？

主な発見

• 提案手法の部分空間シフト技術により、標準的反復法が収束が遅くなる近臨界NARE問題においても、高速収束が回復された。
• 微分がほぼ特異な方向の影響を効果的に分離・緩和することで、数値的条件数が改善された。
• 数値実験により、微分が特異に近い場合でも、本手法が堅牢性と効率性を維持することが確認され、標準的反復ソルバーを上回る性能を示した。
• 完全な行列逆行列計算や明示的正則化を回避することで、計算効率を損なわずに、本手法は効率的である。