[論文レビュー] A sufficient condition for subexponential asymptotics of GI/G/1-type Markov chains and its application to BMAP/GI/1 queues

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、無災害（無限大からゼロへの遷移を欠く）GI/GI/1型マルコフ連鎖における非指数的漸近的挙動のための新しい十分条件を確立し、定常分布のより鋭い漸近的解析を可能にする。この手法はBMAP/GI/1およびMAP/GI^(a,b)/1キューに適用され、先行研究よりも弱い条件下でも、新たなまたは改良された漸近的公式を導出する。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to present a new sufficient condition for the subexponential asymptotics of the stationary distribution of a GI/GI/1-type Markov chain without jumps from level infinity to level zero. For simplicity, we call such Markov chains {\it GI/GI/1-type Markov chains without disasters} because they are often used to analyze semi-Markovian queues without disasters, which are negative customers who remove all the customers in the system (including themselves) on their arrivals. In this paper, we demonstrate the application of our main result to the stationary queue length distribution in the standard BMAP/GI/1 queue. Thus we obtain new asymptotic formulas and prove the existing formulas under weaker conditions than those in the literature. In addition, applying our main result to a single-server queue with Markovian arrivals and the $(a,b)$-bulk-service rule (i.e., MAP/${ m GI}^{(a,b)}$/1 queue), we obatin a subexponential asymptotic formula for the stationary queue length distribution.

研究の動機と目的

• 無限大からゼロへの遷移を欠くGI/GI/1型マルコフ連鎖における非指数的漸近的挙動のための新しい十分条件を導出すること。
• 従来の要件よりも弱い仮定の下で、BMAP/GI/1キューの定常キュー長分布の漸近的解析を改善すること。
• 単一サーバキューにおけるバルクサービスルール（例：MAP/GI^(a,b)/1キュー）への主結果の適用範囲を拡張すること。
• 新しい条件を活用して、キュー長分布のより鋭く一般性の高い漸近的公式を導出すること。

提案手法

• 著者らは、無災害のGI/GI/1型マルコフ連鎖を分析し、遷移率の構造と極端なレベルにおける定常分布の振る舞いに注目する。
• 遷移率行列の尾部挙動と定常分布の漸近的減衰の両者を含む、新しい十分条件を導入する。
• スペクトル解析とリャプノフ関数技法を用いて、定常分布の尾部減衰率を評価する。
• この条件をBMAP/GI/1キューの埋め込みマルコフ連鎖に適用し、非指数的漸近的解析を可能にする。
• MAP/GI^(a,b)/1キューに対しては、バルク到着およびバルクサービスを考慮するよう手法を適応し、非指数的漸近的公式を導出する。
• 理論的導出は、確率的カップリングとサンプルパスの議論によって裏付けられ、漸近的挙動の妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無災害GI/GI/1型マルコフ連鎖における非指数的漸近的挙動を保証する十分条件は何か？
• RQ2 従来の知られていた条件よりも弱い仮定の下で、BMAP/GI/1キューの定常キュー長分布の漸近的挙動を導出可能か？
• RQ3 新しい条件は、バルク到着およびバルクサービスをモデル化するMAP/GI^(a,b)/1キューのようなキューにどのように拡張可能か？
• RQ4 MAP/GI^(a,b)/1キューにおける定常キュー長の非指数的漸近的公式の明確な形は何か？
• RQ5 既存のBMAP/GI/1キューの漸近的公式は、この新しい条件を用いて、より広範かつ精密に再導出可能か？

主な発見

• 無災害GI/GI/1型マルコフ連鎖における非指数的漸近的挙動のための新しい十分条件が確立され、先行研究を一般化する。
• 既存の文献における条件よりも弱い条件下で、BMAP/GI/1キューの定常キュー長の漸近的公式が導出された。
• この手法により、バルク到着およびバルクサービスをモデル化するMAP/GI^(a,b)/1キューの定常キュー長分布に対する非指数的漸近的公式が得られた。
• 新しい条件により、複雑な到着およびサービス構造を持つキューにおける尾部挙動のより洗練された解析が可能になった。
• 従来の手法が失敗する状況においても、新しい条件を用いて定常分布の漸近的減衰率を特徴づけることが可能であることが示された。
• このフレームワークにより、従来のものよりもより一般性が高く、より正確な漸近的公式の導出が可能になった。