[論文レビュー] A sufficient criterion to determine planar self-Cheeger sets

Giorgio Saracco|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平面のジョルダン領域 $ \Omega $ が自己チーリング集合であるための十分条件を、半径 $ R = |\Omega|/P(\Omega) $ の内部ローリングディスク性質を満たすことで確立している。これにより、$ \kappa = R^{-1} $ における所定の曲率関数 $ \mathcal{F}_\kappa[E] = P(E) - \kappa|E| $ を最小化する $ \Omega $ が保証される。主な結果は、リーチとミンコフスキー構造に基づく幾何的基準であり、自己チーリング状態を保証するもので、厳密なローリング条件のもとで一意性が成立する。

ABSTRACT

We show a sufficient criterion to determine if a planar set $Ω$ is a minimizer of the prescribed curvature functional among all of its subsets. As a special case, we derive a sufficient criterion to determine if $Ω$ is a self-Cheeger set, i.e. if it minimizes the ratio $P(E)/|E|$ among all of its subsets. Specifically, if a Jordan domain $Ω$ possesses the interior disk property of radius $|Ω|/P(Ω)$, then it is a self-Cheeger set; if it possesses the strict interior disk property then it is a minimal Cheeger set, i.e. the unique minimizer. As a side effect we provide a way to build self-Cheeger sets.

研究の動機と目的

• 平面の集合 $ \Omega $ が自己チーリング集合、すなわちすべての部分集合 $ E \subset \Omega $ に対して $ P(E)/|E| $ の比を最小化するための十分条件を提供すること。
• リーチとミンコフスキー構造に基づく基準を確立し、$ \Omega $ が所定の曲率関数 $ \mathcal{F}_\kappa[E] = P(E) - \kappa|E| $ を最小化することを保証すること。
• 十分なリーチを持つ種まき集合を用いて、ミンコフスキー和による自己チーリング集合の構成的手法を提示すること。
• チーリング問題の文脈において、内部ローリングディスク性質、リーチ、および最小化子の一意性の関係を明確にすること。

提案手法

• 本稿では、補集合 $ \mathbb{R}^2 \setminus \Omega $ のリーチを用いて定義される、半径 $ R $ の内部ローリングディスク性質を導入し、$ \operatorname{reach}(\mathbb{R}^2 \setminus \Omega) \geq R $ を要請する。
• 内部ローリングディスク性質の厳密版を定義し、$ \partial\Omega $ 上の反対点が、半径 $ R $ の任意の内部ローリングボールの境界上に存在しないように制限する。
• 証明では、ミンコフスキー加法の正則化効果を用いる：$ \omega $ が $ R $ より大きいリーチを持つならば、$ \Omega = \omega \oplus B_R $ は $ C^{1,1} $ であり、ローリングディスク性質を満たす。
• $ \Omega = \omega \oplus B_R $ の面積および周囲長に関するステインナーの公式を適用し、$ |\Omega| $、$ P(\Omega) $、および $ \omega $ の外部ミンコフスキー内容を関連付ける。
• もし $ R \leq |\Omega|/P(\Omega) $ ならば、$ \Omega $ は $ \mathcal{F}_\kappa $ の最小化子であることが利用され、等号成立時には $ \kappa = R^{-1} = h_\Omega $ となり、自己チーリング状態が保証される。
• 一意性は背理法により確立される：厳密なローリング条件が満たされない場合、$ \partial\Omega $ 上に反対点の投影が存在し、$ \Omega_R $ 内での投影の一意性を破ることになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面のジョルダン領域 $ \Omega $ が自己チーリング集合、すなわちすべての部分集合 $ E \subset \Omega $ に対して $ P(E)/|E| $ を最小化するための幾何的条件は何か？
• RQ2 ミンコフスキー加法とリーチの性質を用いて、自己チーリング集合の明示的例をどのように構成できるか？
• RQ3 補集合のリーチが、所定の曲率関数 $ \mathcal{F}_\kappa $ の最小化子の存在および一意性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 内部ローリングディスク性質は、自己チーリング状態の十分条件として用いることができるか？ また、凸領域における既知の必要条件とどのように関係するか？
• RQ5 厳密な内部ローリングディスク性質は、$ \mathcal{F}_\kappa $ の最小化子の一意性をどの程度保証するか？

主な発見

• ジョルダン領域 $ \Omega $ が半径 $ R = |\Omega|/P(\Omega) $ の内部ローリングディスク性質を満たすならば、$ h_\Omega = R^{-1} $ であり、$ \Omega $ は自己チーリング集合である。
• 厳密な内部ローリングディスク性質により、$ \Omega $ は $ \mathcal{F}_{R^{-1}} $ の一意最小化子となり、したがって最小チーリング集合である。
• 任意の $ r < R $ に対して、$ \Omega $ が半径 $ R $ の内部ローリングディスク性質を満たしているならば、$ \Omega $ は $ \mathcal{F}_{r^{-1}} $ の一意最小化子である。
• $ \operatorname{reach}(\omega) > R $ かつ $ |\omega| = \pi R^2 $ であるとき、$ \Omega = \omega \oplus B_R $ の構成により、$ |\Omega|/P(\Omega) = R $ を満たす自己チーリング集合が得られる。
• この基準は十分であるが、必要ではない。特定のバタフライ型領域のような非凸集合でさえ、ローリングディスク条件を満たさないまま自己チーリングであることがある。
• この結果は、$ R \leq |\Omega|/P(\Omega) $ ならば、$ \Omega $ が $ \mathcal{F}_\kappa $ の最小化子であることを示唆し、等号成立時には自己チーリング状態が保証される。