[論文レビュー] A Suggested Answer To Wallstrom's Criticism: Zitterbewegung Stochastic Mechanics I

Maaneli Derakhshani|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ストキャスティック力学におけるウォルトシュトロムの批判を解決するための手法を提案している。それはスピンのない粒子が、$ω_c = (1/\hbar)mc^2$ の周波数で連続的な相対論的振動（ジッターバーグ運動、ZB）を示す、ZBストキャスティック力学（ZSM）モデルを導入することである。ZB運動の時間対称化位相に保存的拡散を課すことにより、速度ポテンシャル $S$ は自然に量子化条件を満たし、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式はシュレーディンガー方程式に回復する。このモデルは中心力場における角運動量とエネルギーの量子化を成功裏に導出し、量子化の動的起源を、恣意的な仮定なしに提示する。

ABSTRACT

Wallstrom's criticism of existing formulations of stochastic mechanics is that they fail to derive the empirical predictions of orthodox quantum mechanics because they require an ad hoc quantization condition on the postulated velocity potential, \emph{S}, in order to derive Schrödinger wave functions. We propose an answer to this criticism by modifying the Nelson-Yasue formulation of non-relativistic stochastic mechanics for a spinless particle with the following hypothesis: a spinless Nelson-Yasue particle of rest mass $m$ continuously undergoes a driven steady-state oscillation of `zitterbewegung' (\emph{zbw}) frequency, $ω_{c}=\left(1/\hbar ight)mc^{2}$, in its instantaneous mean forward (and backward) translational rest frame. With this hypothesis we show that, in the lab frame, \emph{S} arises from imposing the constraint of conservative diffusions on the time-symmetrized steady-state phase of the \emph{zbw} particle, satisfies the required quantization condition, and evolves in time by the Hamilton-Jacobi-Madelung equations (when generalized to describe a statistical ensemble of \emph{zbw} particles). From the mathematical equivalence of Schrödinger's equation with the Hamilton-Jacobi-Madelung equations plus the quantization condition, Schrödinger wave functions for a spinless particle (in and excluding external fields) are thereby recovered. We also apply this `zitterbewegung stochastic mechanics' (ZSM) to the case of a central potential and show that it predicts angular momentum quantization. This paper sets the foundation for Part II, which will (primarily) work out the many-particle version of ZSM.

研究の動機と目的

• ストキャスティック力学の既存の形式が、単一値なシュレーディンガー波動関数を回復するための恣意的な速度ポテンシャル $S$ における量子化条件を必要とすることに対するウォルトシュトロムの批判を解決すること。
• 粒子の瞬時の静止系において、周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターバーグ（ZB）振動を導入することにより、物理的に妥当で恣意的でない量子化条件の導出を実現すること。
• ZB位相における保存的拡散から生じる速度ポテンシャル $S$ が、必要な量子化条件を満たし、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式に従って進化することを示すこと。
• このモデルが、角運動量とエネルギーの量子化を含む、量子力学の実験的予測を、事前に量子化を仮定することなく再現できることを示すこと。

提案手法

• スピンのない粒子の瞬時の静止系において、周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターバーグ（ZB）振動を導入し、駆動された定常状態振動としてモデル化すること。
• 実験系フレームにおけるZB運動の時間対称化位相を定義し、この位相に保存的拡散の制約を課すことにより、速度ポテンシャル $S$ を導出すること。
• ZB粒子の作用にストキャスティック変分原理を適用し、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式を導出し、$S$ が量子力学的ダイナミクスと一貫して進化することを示すこと。
• ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式とシュレーディンガー方程式との数学的同等性に加え、導出された $S$ を用いて、単一値なシュレーディンガー波動関数を回復すること。
• ZSMフレームワークを中心力場に適用し、位相の進化を計算し、閉じた軌道を一周する間に生じる全位相変化が、量子化された作用積分をもたらすことを示すこと。
• 量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$ が、ZB仮説とローレンツ変換から、恣意的な仮定なしに自然に生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストキャスティック力学における速度ポテンシャル $S$ の量子化条件は、恣意的ではなく、物理的で相対論的メカニズムから導けるか？
• RQ2 粒子の静止系において周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターバーグ振動を導入することで、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング形式を介して自然にシュレーディンガー方程式が導かれるか？
• RQ3 ジッターバーグストキャスティック力学モデルは、水素原子のような中心力場における角運動量の量子化をどのように再現するか？
• RQ4 ボーア半径と基底状態エネルギーを含む水素原子のエネルギー準位は、ZB位相の進化と力のバランスから、量子化を仮定することなく導けるか？
• RQ5 ZBモデルは、ボーアの恣意的仮定とは対照的に、束縛状態における作用の量子化を、動的かつ循環的でない根拠で提供できるか？

主な発見

• 保存的拡散をZB位相に適用して得られた速度ポテンシャル $S$ は、恣意的な仮定なしに、必要な量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$ を満たす。
• このモデルは、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式を介してシュレーディンガー方程式を回復し、ストキャスティックで相対論的な粒子モデルから量子力学を動的に導出することを確立する。
• 中心力場において、ZB位相の進化は、$n$ を整数として $L_\alpha = mv_\alpha r = n\hbar$ の量子化された角運動量をもたらす。
• このモデルは、ZBによって引き起こされる量子化と古典的力のバランスから、$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2$ としてボーア半径を自然に導出する。
• エネルギー準位は $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ として量子化され、$E_1 = -13.6\,\text{eV}$ であり、水素原子の基底状態エネルギーと一致する。
• 量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$ は、ZB振動とローレンツ変換から自然に生じ、ボーアの恣意的仮定に代わる相対論的動的制約として成立する。