[論文レビュー] A Summary of Problems and Results related to the Caccetta-Haggkvist Conjecture

Blair D. Sullivan|ArXiv.org|May 24, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、有向グラフ理論におけるCaccetta-H"{a}ggkvist予想および関連問題について包括的なサーベイを提供しており、部分的な結果、近似境界、未解決の予想を統合している。最小出次数条件が短い有向サイクルを強制する問題に関する進展を統合し、特にrが小さい場合の正確な結果、小さな加法的定数を伴う近似境界、Seymourの第二近傍予想やr正則有向グラフとの関連を含む。

ABSTRACT

This paper is an attempt to survey the current state of our knowledge on the Caccetta-Haggkvist conjecture and related questions. In January 2006 there was a workshop hosted by the American Institute of Mathematics in Palo Alto, on the Caccetta-Haggkvist conjecture, and this paper partly originated there, as a summary of the open problems and partial results presented at the workshop. This summary includes results and open problems related to Caccetta-Haggkvist, Seymour's Second Neighborhood Conjecture, the k/2 Conjecture (for nonedges), and connections with algebraic number theory through Cayley graphs, along with a number of other related topics.

研究の動機と目的

• 2006年1月現在におけるCaccetta-H"{a}ggkvist予想に関する知見の要約（アメリカン・インスティテュート・オブ・マスケティクスでのワークショップの後）。
• 予想に関連する部分的な結果、近似境界、関連する予想を収集・体系化すること。
• Caccetta-H"{a}ggkvist予想と、Seymourの第二近傍予想やBehzad-Chartrand-Wall予想などの有向グラフ理論における中心的問題との関係を明確化すること。
• 極値有向グラフ論における今後の研究を導くために、未解決問題や予想を体系的に提示すること。
• 研究者にとって、現在の予想の状態と、グラフクラスや次数条件にわたるその影響を統合的に参照できる資料を提供すること。

提案手法

• Caccetta-H"{a}ggkvist予想に関する既知の結果をサーベイ・整理し、r=2,3,4,5の小さなrに対する証明と、r ≤ √(n/2)に対する漸近的境界を含む。
• n/r + c（cは小さな定数）でgirthを有界化する近似結果を、組合せ的および確率的技法を用いて分析。例：Shenによるc=73。
• r = n/3のような特殊ケースを検討し、δ⁺ ≥ cnが長さ3以下の有向サイクルを強制するような定数cを最小化することを目的とする。
• Seymourの第二近傍予想との関係を調査し、第二近傍のサイズを有界化するための確率的および代数的手法を用いる。
• girthに関連する構造的予想（例：Lichiardopolのフィードバックアーク集合に関する予想、Thomasséのパス長に関する予想）を提示。
• 3/4有向グラフおよびマジョリティ有向グラフのクラスを導入・分析し、極値例の候補としての可能性を検討し、その構造的性質に関する予想を提示。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小出次数rの単純なn頂点有向グラフにおける有向サイクルの最小長は何か？ そしてこれは⌈n/r⌉の境界とどのように関係するか？
• RQ2 Caccetta-H"{a}ggkvist予想はすべてのrに対して証明可能か？ それとも各rに対して有限個の反例しか存在しないのか？
• RQ3 δ⁺ ≥ rが長さn/r + c以下の有向サイクルを強制するような、最良の加法的定数cは何か？
• RQ4 最小出次数がn/3以上のすべての有向グラフが有向三角形を含むか？ そのような定数の最小値は何か？
• RQ5 3/4有向グラフ（置換の大部分を用いて定義）はCaccetta-H"{a}ggkvist予想を満たすか？ また、それらが持つ構造的性質は何か？

主な発見

• Caccetta-H"{a}ggkvist予想はr=2, r=3, r=4, r=5で成立し、それぞれCaccettaとH"{a}ggkvist、Hamidoune、Ho{ä}ngとReedによる証明がある。
• Shenは、n ≥ 2r² − 3r + 1のとき、最小出次数rの任意の有向グラフが長さ⌈n/r⌉以下のサイクルを持つことを証明し、各rに対して有限個の例外集合を確立した。
• r = n/3の場合、δ⁺ ≥ cnが長さ3以下の有向サイクルを強制するような定数cの上界として、c ≤ 3 − √7 ≈ 0.3542が既知の最良の結果である。
• Shenの近似girthに関する結果により、g ≤ 3⌈n/r ln((2+√7)/3)⌉ ≈ 1.312n/rが得られ、以前の境界を改善した。
• Seymourの第二近傍予想は、トーナメント（Deanの予想）、出次数≤6の有向グラフ、および第一近傍サイズのγ ≈ 0.657の割合に対して成立することが知られている。
• Lichiardopolの予想はCaccetta-H"{a}ggkvist予想を含み、任意の有向グラフが最小フィードバックアーク集合に長さδ⁺のパスを含むと主張する。