[論文レビュー] A summation formula for the Rankin-Selberg monoid via the circle method

Jayce R. Getz|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、数体上のランキン＝セルバーグモノイドに対して、円法を用いて、非アーベル設定へのポアソン和分公式の一般化を確立する。ランキン＝セルバーグL関数の新しいゼータ積分を導出し、ガロア群作用による自動表現の非アーベル的ねじれトレース公式を証明する。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field and let $\mathbb{A}_F$ be its ring of adeles. Let $B$ be a quaternion algebra over $F$ and let $ u:B o F$ be the reduced norm. Consider the reductive monoid $M$ over $F$ whose points in an $F$-algebra $R$ are given by \begin{align*} M(R):=\{(\gamma_1,\gamma_2) \in (B \otimes_F R)^{2}: u (\gamma_1)= u(\gamma_2)\}. \end{align*} Motivated by an influential conjecture of Braverman and Kazhdan we prove a summation formula analogous to the Poisson summation formula for certain spaces of functions on the monoid. As an application, we define new zeta integrals for the Rankin-Selberg $L$-function and prove their basic properties. We also use the formula to prove a nonabelian twisted trace formula, that is, a trace formula whose spectral side is given in terms of automorphic representations of the unit group of $M$ that are isomorphic (up to a twist by a character) to their conjugates under a simple nonabelian Galois group.

研究の動機と目的

• クaternion代数に関連する再帰的モノイドに対して、ポアソン和分公式に類似した和分公式を構築すること。
• モノイドに基づく調和解析を通じて、L関数の関数方程式に関するブレイバーマン＝カジダン予想に取り組むこと。
• モノイド構造を用いて、ランキン＝セルバーグL関数の新しいゼータ積分を定義し、それらを研究すること。
• ガロア共役作用に関して、ねじれを除いて不変な自動表現に対して、非アーベル的ねじれトレース公式を確立すること。
• アーベル的でない設定にまで、トレース公式の技法を拡張し、自動スペクトル上の非アーベル的ガロア作用を扱うこと。

提案手法

• F 上の代数的群 B に対して、B ⊗F R に値をとるペア (γ₁, γ₂) で、ノルム写像 u: B → F による縮約ノルムが等しいものからなる再帰的モノイド M(R) を定義する。
• アデール空間上の調和解析を活用し、モノイド上の指数和を解析するために、円法を適用する。
• 和分公式を可能にする十分な減衰性と滑らかさを持つテスト関数を M(𝔸_F) 上に構成する。
• M の有理点上の和を、M の単群の自動表現に関するスペクトル和に結びつける和分公式を導出する。
• この公式を用いて、ランキン＝セルバーグL関数のゼータ積分を定義し、その収束性とメロモルフィックな延長を証明する。
• ガロア共役作用が特徴的ねじれを介して自動表現に作用する場合に、非アーベル的ねじれトレース公式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のランキン＝セルバーグモノイドに対して、ポアソン和分公式に類似した和分公式をどのように構築できるか？
• RQ2 このモノイド構造から自然に生じるランキン＝セルバーグL関数のゼータ積分は何か？ それらの解析的性質は何か？
• RQ3 ガロア群が自動表現に非自明に作用するねじれを介して作用する場合、非アーベル的ねじれトレース公式を導出できるか？
• RQ4 非アーベル的再帰的モノイドに、非自明なノルム条件が付随する場合、円法はどのように適合するか？
• RQ5 和分公式のスペクトル的解釈は、M の単群の自動表現の観点からどのように解釈できるか？

主な発見

• 円法を用いて、非アーベル的設定へのポアソン和分公式の一般化を実現したランキン＝セルバーグモノイドの和分公式が確立された。
• ランキン＝セルバーグL関数の新しいゼータ積分が定義され、収束性とメロモルフィックな延長性が示された。
• 和分公式のスペクトル側は、M の単群の自動表現の観点から解釈された。
• ガロア共役作用に関して、自動表現が特徴的ねじれを除いて同型である非アーベル的ねじれトレース公式が証明された。
• この方法により、古典的トレース公式理論を超えて、非アーベル的ガロア設定におけるL関数とトレース公式を研究するための新しい枠組みが提供された。